Коническое сечение: интерактивная визуализация

Конические сечения в этой визуализации

Коническое сечение (или коника) — кривая пересечения плоскости с двойным конусом: двумя полостями, соединёнными в вершине, с общей осью и бесконечно продолжающимися в обе стороны. Полуугол $\alpha$ конуса — угол между осью и его образующими; плоскость образует с осью угол $\beta$ (от $0^\circ$ , параллельно оси, до $90^\circ$ , перпендикулярно ей) и находится на расстоянии $d$ от вершины. Каждое сечение — окружность, эллипс, парабола или гипербола, а при прохождении плоскости через вершину — точка, одна прямая или две прямые.

Одно число определяет вид кривой

e = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha} \qquad \beta > \alpha:\ e < 1 \qquad \beta = \alpha:\ e = 1 \qquad \beta < \alpha:\ e > 1

Уменьшайте угол плоскости от $90^\circ$ . Окружность ( $e = 0$ ) становится всё более вытянутым эллипсом; когда плоскость параллельна образующей конуса ( $\beta = \alpha$ ), дальний конец уходит в бесконечность и кривая становится параболой; поверните ещё немного, и плоскость достигнет другой полости, откуда из бесконечности придёт вторая ветвь: гипербола. Окно Истинная форма показывает сечение по нормали в постоянном масштабе; ближний конец, ближайшая к вершине точка, закреплён, поэтому видно, как дальний конец уходит за окно. Вид кривой определяется по углам точно в том виде, как они введены: $\beta = 30.01^\circ$ при $\alpha = 30^\circ$ — эллипс с $e \approx 0.9999$ , а не парабола.

Откуда берутся фокусы

Сферы Данделена расположены внутри конуса; каждая касается конуса по окружности, а плоскости — в одной точке: эти точки — фокусы $F_1$ и $F_2$ . Из точки $P$ кривой отрезки всех касательных к одной сфере равны, поэтому $PF_1$ равно расстоянию по образующей через $P$ до первой окружности касания, а $PF_2$ — до второй.
Для эллипса обе сферы лежат в одной полости конуса, а $P$ — между окружностями, поэтому $PF_1 + PF_2$ равно длине отрезка образующей между ними, одинаковой для всех $P$ : $2a$ . Для гиперболы сферы лежат в противоположных полостях и $|PF_1 - PF_2| = 2a$ . У параболы помещается лишь одна сфера.
Директриса — прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью окружности касания. Отношение расстояний от $P$ до фокуса и до директрисы постоянно, $PF_1 / PD_1 = e$ ; для параболы они равны. У окружности директрисы нет: две плоскости параллельны.

Что не следует путать

Из-за перспективы окружность в 3D-виде выглядит как эллипс; окно истинной формы или Посмотреть на сечение прямо показывает настоящую форму. Масштаб окна сам не меняется: числа под ним указывают положение дальнего конца или другой ветви.
Конус нарисован лишь вблизи вершины и постепенно исчезает на концах; сам он продолжается бесконечно. Длинный эллипс всё ещё замкнут, как бы далеко ни находился его конец; парабола — не половина эллипса: у неё вообще нет дальнего конца.
Вид кривой и соотношение между $\beta$ и $\alpha$ определяются точно; $e$ , длины и расстояния вычисляются и помечены ≈. Стекло, тонкие линии и исчезновение на краях служат только для отображения.

Управление

Поворачивайте $\beta$ ручкой или перетаскивайте синюю ручку на плоскости; она фиксируется при $\alpha$ и $90^\circ$ . Колёсико сдвигает плоскость; $d = 0$ проводит её через вершину. Углы можно вводить в градусах или как кратные π. При включённых сферах или директрисах перетаскивайте $P$ вдоль кривой. Режим презентации открывает полный экран: ← → поворачивают плоскость, ↑ ↓ сдвигают её.

Связанные темы

Дополнительные материалы: Википедия: Conic section (Английский); Википедия: Dandelin spheres (Английский); OpenStax, Precalculus 2e, 10.5 Conic Sections in Polar Coordinates (Английский).