원뿔곡선: 인터랙티브 시각화

이 시각화에서 보는 원뿔곡선

원뿔곡선(또는 이차곡선)은 평면과 이중 원뿔이 만나는 곡선입니다. 이중 원뿔은 두 원뿔이 꼭짓점에서 만나 하나의 축을 중심으로 양쪽으로 무한히 뻗은 모양입니다. 원뿔의 반꼭지각 $\alpha$ 은 축과 모선 사이의 각입니다. 평면은 축과 $\beta$ 의 각을 이루고(축에 평행한 $0^\circ$ 부터 수직인 $90^\circ$ 까지), 꼭짓점에서 거리 $d$ 에 있습니다. 단면은 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 중 하나이며, 평면이 꼭짓점을 지나면 점, 직선 하나 또는 직선 두 개가 됩니다.

한 수가 곡선의 종류를 정한다

e = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha} \qquad \beta > \alpha:\ e < 1 \qquad \beta = \alpha:\ e = 1 \qquad \beta < \alpha:\ e > 1

평면의 각을 $90^\circ$ 에서 줄여 보세요. 원( $e = 0$ )이 점점 길어지는 타원이 됩니다. 평면이 모선에 평행해지는 순간( $\beta = \alpha$ ) 먼 끝이 무한대로 사라지며 포물선이 됩니다. 조금 더 돌리면 반대쪽 원뿔에도 닿아 두 번째 가지가 무한대에서 나타납니다. 쌍곡선입니다. 실제 모양 창은 고정된 배율로 단면을 정면에서 보여 줍니다. 꼭짓점과 가장 가까운 끝은 고정되어 있어 먼 끝이 창 밖으로 나가는 모습을 볼 수 있습니다. 곡선의 종류는 입력한 각 그대로 정확히 판정합니다. $\beta = 30.01^\circ$ 와 $\alpha = 30^\circ$ 을 비교하면 포물선이 아니라 $e \approx 0.9999$ 인 타원입니다.

초점은 어디서 나올까?

당들랭 구는 원뿔 안에 들어가 각각 원뿔에는 원을 따라, 평면에는 한 점에서 접합니다. 그 점들이 초점 $F_1$ , $F_2$ 입니다. 곡선 위 한 점 $P$ 에서 같은 구에 그은 접선의 길이는 모두 같으므로, $PF_1$ 는 $P$ 을 지나는 모선을 따라 첫 번째 접촉 원까지의 거리와 같고, $PF_2$ 은 두 번째 접촉 원까지의 거리와 같습니다.
타원에서는 두 구가 같은 쪽 원뿔에 있고 $P$ 가 두 원 사이에 있으므로, $PF_1 + PF_2$ 은 두 원 사이 모선의 길이입니다. 모든 $P$ 에서 같아 $2a$ 입니다. 쌍곡선에서는 구가 반대쪽 원뿔에 있고 $|PF_1 - PF_2| = 2a$ 입니다. 포물선에는 구 하나만 들어갑니다.
준선은 자르는 평면과 접촉 원이 놓인 평면이 만나는 직선입니다. $P$ 에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리는 일정한 비 $PF_1 / PD_1 = e$ 를 유지합니다. 포물선에서는 두 거리가 같습니다. 원에서는 두 평면이 평행하므로 준선이 없습니다.

오해하지 말아야 할 점

3D 화면에서는 원근 때문에 원도 타원처럼 보입니다. 실제 모양 창이나 단면 정면 보기로 실제 모양을 볼 수 있습니다. 창의 배율은 저절로 바뀌지 않으며, 아래 수치가 먼 끝이나 다른 가지의 위치를 알려 줍니다.
원뿔은 꼭짓점 근처만 그리고 끝은 흐리게 표시하지만, 실제로는 무한히 이어집니다. 타원은 끝이 아무리 멀리 있어도 닫힌 곡선입니다. 포물선은 타원의 절반이 아닙니다. 먼 끝 자체가 없습니다.
곡선의 종류와 $\beta$ , $\alpha$ 사이의 관계는 정확합니다. $e$ , 길이, 거리는 계산값이며 ≈로 표시합니다. 투명한 표면, 희미한 선, 끝의 흐림은 시각적 표현일 뿐입니다.

조작 방법

다이얼로 $\beta$ 를 돌리거나 평면의 파란 손잡이를 드래그하세요. $\alpha$ 과 $90^\circ$ 에 맞춰 붙습니다. 휠은 평면을 움직이며, $d = 0$ 은 꼭짓점을 지나게 합니다. 각은 도 단위나 π의 배수로 입력할 수 있습니다. 구나 준선을 켠 상태에서 $P$ 를 곡선을 따라 드래그하세요. 발표 모드는 전체 화면을 엽니다. ← →로 평면을 돌리고 ↑ ↓로 이동합니다.

이 시각화에서 보는 원뿔곡선

초점은 어디서 나올까?

오해하지 말아야 할 점

조작 방법

관련 개념