라디안

원의 중심에 있는 각은 원 위에서 호 하나를 잘라 냅니다. 각을 라디안으로 나타낸 크기는 호의 길이를 반지름으로 나눈 값 $\theta = s/r$, 즉 호가 반지름의 몇 배 길이인지를 뜻합니다. 각을 고정하면 호의 길이는 반지름에 비례해 커지므로 이 비율은 원의 크기와 무관합니다. 호의 길이가 반지름과 정확히 같은 각이 1라디안이며 $180^\circ/\pi \approx 57.2958^\circ$입니다. 원의 둘레가 $2\pi r$이므로 한 바퀴는 $2\pi$라디안입니다. 이렇게 각을 재면 호의 길이는 $s = r\theta$, 부채꼴의 넓이는 $\tfrac12 r^2\theta$입니다.

그림에서는 반지름 OA가 자 역할을 합니다. r로 재기를 누르면 반지름 길이의 조각을 하나씩 호를 따라 놓습니다. 각 조각은 길이를 유지한 채 원에 맞게 휘어집니다. 호에는 반지름 길이마다 눈금이 생깁니다. 원 한 바퀴에 반지름 6개가 온전히 들어가고 $2\pi - 6 \approx 0.2832$개만큼 남습니다. 반지름이 $r/3$, $2r/3$인 동심원에서도 눈금 간격을 각 원의 반지름으로 잡으면 같은 반직선 위에 놓입니다. 각도는 원의 크기와 무관합니다.

미적분에서 왜 라디안을 쓸까요? 단위원에서 삼각형 OAP는 부채꼴 OAP 안에 있고, 부채꼴은 삼각형 OAT 안에 있습니다. T는 A에서 그은 접선 위의 점입니다. 세 넓이는 각각 $\tfrac12\sin\theta$, $\tfrac12\theta$, $\tfrac12\tan\theta$입니다. $\tfrac12\sin\theta$으로 나눈 뒤 역수를 취하면 위의 부등식을 얻습니다. $\theta \to 0$일 때 $\cos\theta \to 1$이므로 $\sin\theta/\theta \to 1$입니다. 이 비율은 짝함수이므로 왼쪽에서의 극한도 같습니다. 이 극한은 sin의 0에서의 기울기이며, $(\sin x)' = \cos x$을 이끌어 내는 첫 단계입니다.

라디안이 필요한 부분은 부채꼴의 넓이 $\tfrac12\theta$입니다. 각을 도 단위로 재서 $x^\circ$로 나타내면 부채꼴의 넓이는 $(\pi/360)\,x$가 됩니다. $x \to 0$일 때 같은 방식으로 조이면 $\sin x^\circ/x \to \pi/180 \approx 0.017453$를 얻습니다. 따라서 도 단위에서 sin의 0에서의 기울기는 1이 아니라 π/180입니다.