Radiante

Un angolo al centro di una circonferenza individua un arco. La sua misura in radianti è la lunghezza dell’arco divisa per il raggio, $\theta = s/r$: quante lunghezze di raggio contiene l’arco. A parità di angolo, l’arco cresce in proporzione al raggio, quindi questo rapporto non dipende dalla grandezza della circonferenza. Un radiante è l’angolo il cui arco è lungo esattamente quanto il raggio, $180^\circ/\pi \approx 57.2958^\circ$; un giro completo vale $2\pi$ radianti, perché la circonferenza è lunga $2\pi r$. Con questa misura, un arco ha lunghezza $s = r\theta$ e un settore ha area $\tfrac12 r^2\theta$.

Nella figura, il raggio OA è il righello. Misura con r lo riporta sull’arco un pezzo alla volta, piegando ogni pezzo sulla circonferenza senza cambiarne la lunghezza. L’arco ha una tacca a ogni lunghezza di raggio. Sulla circonferenza trovano posto sei raggi interi, e resta $2\pi - 6 \approx 0.2832$ di un raggio. Sulle circonferenze concentriche di raggio $r/3$ e $2r/3$, le tacche sono distanziate del raggio di ciascuna e cadono sulle stesse semirette: l’angolo non dipende dalle dimensioni della circonferenza.

Perché l’analisi usa i radianti: nella circonferenza unitaria, il triangolo OAP è dentro il settore OAP, a sua volta dentro il triangolo OAT, con T sulla tangente in A. Le loro aree sono $\tfrac12\sin\theta$, $\tfrac12\theta$ e $\tfrac12\tan\theta$; dividendo per $\tfrac12\sin\theta$ e prendendo i reciproci si ottiene il confronto sopra. Quando $\theta \to 0$, si ha $\cos\theta \to 1$, dunque $\sin\theta/\theta \to 1$. Il rapporto è una funzione pari, perciò il limite da sinistra è lo stesso. Quel limite è la pendenza di sin in 0, il primo passo verso $(\sin x)' = \cos x$.

I radianti entrano attraverso l’area del settore, $\tfrac12\theta$. Misurando l’angolo in gradi, $x^\circ$, l’area diventa $(\pi/360)\,x$. Quando $x \to 0$, lo stesso confronto dà $\sin x^\circ/x \to \pi/180 \approx 0.017453$: in gradi, sin ha quindi pendenza π/180 in 0, non 1.