弧度

圓心的一個角在圓周上截出一段弧。用弧度表示時，角的大小就是弧長除以半徑，$\theta = s/r$，也就是這段弧有幾個半徑長。固定角度時，弧長隨半徑成比例增長，所以這個比值與圓的大小無關。弧長恰好等於半徑的角是1弧度，$180^\circ/\pi \approx 57.2958^\circ$；一整圈是$2\pi$弧度，因為圓周長為$2\pi r$。這樣量角，弧長就是$s = r\theta$，扇形面積就是$\tfrac12 r^2\theta$。

圖中的半徑OA就是尺。按用半徑量，會把半徑一段段沿弧鋪上去，每段彎成圓弧而不改變長度。弧上每隔一個半徑長就有一道刻線。一圈能鋪下6個完整的半徑，還剩$2\pi - 6 \approx 0.2832$個半徑。在半徑為$r/3$與$2r/3$的同心圓上，刻線各自以所在圓的半徑為間距，仍落在相同的射線上：角度與圓的大小無關。

微積分為什麼用弧度？在單位圓中，三角形OAP位於扇形OAP內，扇形又位於三角形OAT內，其中T在A點的切線上。它們的面積分別是$\tfrac12\sin\theta$、$\tfrac12\theta$、$\tfrac12\tan\theta$；除以$\tfrac12\sin\theta$再取倒數，就得到上面的夾擠。當$\theta \to 0$時，$\cos\theta \to 1$，所以$\sin\theta/\theta \to 1$。這個比值是偶函數，因此左極限也相同。這個極限就是sin在0處的斜率，也是推導$(\sin x)' = \cos x$的第一步。

弧度出現在扇形面積$\tfrac12\theta$這一步。若用度數量角，$x^\circ$，扇形面積就變成$(\pi/360)\,x$。當$x \to 0$時，同樣的夾擠給出$\sin x^\circ/x \to \pi/180 \approx 0.017453$，所以用度數時，sin在0處的斜率是π/180，而不是1。