Radian

Un angle au centre d’un cercle intercepte un arc. Sa mesure en radians est la longueur de cet arc divisée par le rayon, $\theta = s/r$ : le nombre de longueurs de rayon contenues dans l’arc. À angle fixé, l’arc grandit proportionnellement au rayon, donc ce rapport ne dépend pas de la taille du cercle. Un radian est l’angle dont l’arc est exactement aussi long que le rayon, $180^\circ/\pi \approx 57.2958^\circ$ ; un tour complet vaut $2\pi$ radians, puisque la circonférence mesure $2\pi r$. Avec cette unité, un arc a pour longueur $s = r\theta$ et un secteur pour aire $\tfrac12 r^2\theta$.

Dans la figure, le rayon OA sert de règle. Mesurer avec r le reporte morceau par morceau sur l’arc, en courbant chaque morceau sans changer sa longueur. Une graduation apparaît à chaque longueur de rayon. Six rayons entiers tiennent sur le cercle, et il reste $2\pi - 6 \approx 0.2832$ d’un rayon. Sur les cercles concentriques de rayons $r/3$ et $2r/3$, les graduations sont espacées d’une longueur égale à leur propre rayon et se trouvent sur les mêmes demi-droites : l’angle ne dépend pas de la taille du cercle.

Pourquoi l’analyse utilise les radians : dans le cercle unité, le triangle OAP est inclus dans le secteur OAP, lui-même inclus dans le triangle OAT, où T se trouve sur la tangente en A. Leurs aires sont $\tfrac12\sin\theta$, $\tfrac12\theta$ et $\tfrac12\tan\theta$ ; diviser par $\tfrac12\sin\theta$, puis prendre les inverses, donne l’encadrement ci-dessus. Lorsque $\theta \to 0$, on a $\cos\theta \to 1$, donc $\sin\theta/\theta \to 1$. Le rapport est une fonction paire, donc la limite à gauche est la même. Cette limite est la pente de sin en 0, première étape vers $(\sin x)' = \cos x$.

Les radians interviennent dans l’aire du secteur, $\tfrac12\theta$. Si l’angle est mesuré en degrés, $x^\circ$, cette aire devient $(\pi/360)\,x$. Lorsque $x \to 0$, le même encadrement donne $\sin x^\circ/x \to \pi/180 \approx 0.017453$ : en degrés, la pente de sin en 0 vaut donc π/180, et non 1.