Angle inscrit : visualisation interactive

Le théorème de l’angle inscrit dans cette visualisation

Un angle inscrit $\angle APB$ a son sommet P sur un cercle ; ses côtés passent par deux autres points A et B du cercle. Il intercepte l’arc de A à B qui ne contient pas P. L’angle au centre correspondant est l’angle en O entre OA et OB — l’angle rentrant si l’arc dépasse un demi-cercle. Le théorème de l’angle inscrit affirme que l’angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre interceptant le même arc. Ainsi, tous les angles inscrits dont les sommets sont sur un même arc sont égaux, un angle inscrit dans un demi-cercle est droit (Thalès), et les angles opposés d’un quadrilatère inscrit ont pour somme 180°.

Le théorème et son explication : OP = OA = OB

\angle APB = \tfrac12\,\angle AOB, \qquad \angle AOP' = 2\alpha,\ \ \angle BOP' = 2\beta

Triangles isocèles affiche la démonstration. OP, OA et OB sont des rayons : les triangles OPA et OPB sont donc isocèles, avec pour angles à la base $\alpha = \angle OPA$ et $\beta = \angle OPB$ . Prolongez PO jusqu’à l’autre extrémité P′ du diamètre : les angles extérieurs en O valent 2α et 2β. Si O est à l’intérieur de l’angle, leur somme donne l’angle au centre et l’angle inscrit vaut $\alpha + \beta$ ; si O est à l’extérieur, l’angle au centre est leur différence et l’angle inscrit vaut $|\alpha - \beta|$ . Quand P se déplace, α et β se compensent : leur somme ou leur différence reste constante. Le calcul affiché passe de + à − exactement lorsque P′ franchit A ou B et que O se trouve sur un côté de l’angle.

La page calcule α et β à partir de la position de P, puis affiche ∠APB à côté de « arc ÷ 2 » : deux valeurs calculées séparément, toujours égales. Les positions sur le cercle sont conservées exactement, au millième de degré ; un glissement ou un tour de molette les déplace par pas de 0,1° (un demi-pixel à l’écran). Chaque angle affiché avec « = » est donc la valeur exacte à cette position. Hors du cercle, l’angle est mesuré et précédé de ≈, sauf en O, où il est exactement égal à l’angle au centre.

À observer

En franchissant A ou B, P passe sur l’autre arc et intercepte le reste du cercle : l’angle devient 180° moins l’angle précédent. Dans le panneau, ∠AOB est l’angle au centre associé à la corde, au plus égal à 180° ; lorsque P est sur le petit arc, la figure utilise l’angle rentrant.
Quand P glisse vers A, la corde PA tend vers la tangente en A. L’angle entre cette tangente et AB (l’angle tangente-corde) vaut la moitié de l’arc intercepté. Quand P est exactement en A, l’angle en P n’existe pas ; la page affiche les deux angles de la tangente avec AB, limites obtenues en approchant par chacun des arcs.
Avec Partout, P peut quitter le cercle. Du côté de AB où se trouve P, l’angle est plus grand à l’intérieur du cercle et plus petit à l’extérieur. Les points qui voient AB sous un même angle forment donc un arc passant par A et B, avec son symétrique de l’autre côté de AB. Cette réciproque permet de prouver, par les angles, que quatre points sont sur un même cercle. Comparez uniquement du même côté de AB : de l’autre côté, l’angle inscrit est supplémentaire du premier.

Commandes

Faites glisser P, A ou B sur le cercle, ou utilisez leurs touches fléchées (1°, avec Maj 0,1°). P s’accroche aux positions où O se trouve sur un côté de l’angle ; avec Partout, il s’accroche aussi au cercle et à O. Vous pouvez saisir ∠AOB en degrés, de 1° à 180°, avec deux décimales.
Présenter ouvre une vue plein écran pour vidéoprojecteur : ← → déplacent P, H masque les angles sans cacher la figure. Partager copie un lien vers la figure actuelle.

À découvrir aussi

Pour aller plus loin: Wikipédia: Inscribed angle (Anglais); Euclid’s Elements, Book III, Proposition 20 (ed. D. E. Joyce) (Anglais).