Angolo alla circonferenza: visualizzazione interattiva

Il teorema dell’angolo alla circonferenza in questa visualizzazione

Un angolo alla circonferenza $\angle APB$ ha il vertice P su una circonferenza e i lati passano per altri due punti A e B di essa. Insiste sull’arco da A a B che non contiene P. L’angolo al centro corrispondente è l’angolo in O tra OA e OB: l’angolo concavo quando l’arco supera una semicirconferenza. Il teorema dell’angolo alla circonferenza afferma che l’angolo inscritto misura la metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco. Quindi tutti gli angoli inscritti con vertice su uno stesso arco sono uguali, un angolo inscritto in una semicirconferenza è retto (Talete) e gli angoli opposti di un quadrilatero ciclico hanno somma 180°.

Il teorema e il perché: OP = OA = OB

\angle APB = \tfrac12\,\angle AOB, \qquad \angle AOP' = 2\alpha,\ \ \angle BOP' = 2\beta

Triangoli isosceli mostra la dimostrazione. OP, OA e OB sono raggi, quindi i triangoli OPA e OPB sono isosceli, con angoli alla base $\alpha = \angle OPA$ e $\beta = \angle OPB$ . Prolunga PO fino all’altro estremo P′ del diametro: gli angoli esterni in O sono 2α e 2β. Quando O è dentro l’angolo, la loro somma dà l’angolo al centro e l’angolo inscritto è $\alpha + \beta$ ; quando O è fuori, l’angolo al centro è la loro differenza e l’angolo inscritto è $|\alpha - \beta|$ . Mentre P si muove, α e β variano mantenendo costante la somma o la differenza. Il calcolo mostrato passa da + a − proprio quando P′ supera A o B e O si trova su un lato dell’angolo.

La pagina calcola α e β dalla posizione di P e affianca ∠APB ad «arco ÷ 2»: due valori calcolati separatamente che coincidono sempre. Le posizioni sulla circonferenza sono conservate esattamente, in millesimi di grado; trascinamento e rotella le muovono a passi di 0,1° (mezzo pixel sullo schermo). Ogni angolo mostrato con «=» è dunque il valore esatto in quel punto. Quando P non è sulla circonferenza, l’angolo viene misurato e contrassegnato con ≈, tranne in O, dove è esattamente l’angolo al centro.

Cosa osservare

Superando A o B, P passa sull’altro arco e l’angolo insiste sul resto della circonferenza: diventa 180° meno l’angolo precedente. Nel pannello, ∠AOB è l’angolo al centro della corda, al massimo 180°; quando P è sull’arco minore, la figura usa l’angolo concavo.
Mentre P scorre verso A, la corda PA tende alla tangente in A. L’angolo tra tangente e corda, cioè tra la tangente e AB, misura la metà dell’arco intercettato. Quando P coincide esattamente con A, non esiste un angolo in P; la pagina mostra i due angoli della tangente con AB, i limiti ottenuti avvicinandosi dai due archi.
Con Ovunque, P può lasciare la circonferenza. Dal lato di AB in cui si trova P, l’angolo è maggiore dentro il cerchio e minore fuori. I punti che vedono AB sotto uno stesso angolo formano quindi un arco passante per A e B, con il suo simmetrico dall’altro lato di AB. Questo teorema inverso permette di usare gli angoli per dimostrare che quattro punti appartengono alla stessa circonferenza. Confronta solo punti dallo stesso lato di AB: dall’altro lato, l’angolo inscritto è supplementare.

Comandi

Trascina P, A o B lungo la circonferenza, oppure usa i loro tasti freccia (1°, con Maiusc 0,1°). P si aggancia alle posizioni in cui O cade su un lato dell’angolo; con Ovunque si aggancia anche alla circonferenza e a O. Puoi inserire ∠AOB in gradi, con due decimali, da 1° a 180°.
Presenta apre una vista a schermo intero per proiettori: ← → muovono P, H nasconde gli angoli lasciando visibile la figura. Condividi copia un collegamento alla figura attuale.

Vedi anche

Per approfondire: Wikipedia: Inscribed angle (Inglese); Euclid’s Elements, Book III, Proposition 20 (ed. D. E. Joyce) (Inglese).