圆周角定理与本页画面
顶点P在圆上、两边分别过圆上另两点A、B的角叫圆周角。它所对的弧是从A到B、不含P的那段弧；同一段弧所对的圆心角是圆心O处OA与OB的夹角，弧超过半圆时取优角。圆周角定理：圆周角等于同弧所对圆心角的一半。所以同弧上的圆周角都相等，半圆（直径）所对的圆周角是直角（泰勒斯定理），圆内接四边形的对角互补。
等腰三角形画出证明。OP、OA、OB都是半径，所以三角形OPA、OPB是等腰三角形，底角为和。把PO延长到直径的另一端P′，O处的外角是2α和2β。圆心在角内时，它们拼成圆心角，圆周角是；圆心在角外时，圆心角是两者之差，圆周角是。拖动P时α、β此消彼长，和或差却不变；读数里的“+”正好在P′经过A或B、圆心落在角的一边上时变成“−”。
页面从P自己的位置算出α和β，把∠APB和“弧 ÷ 2”并排写出：两个分别算出的数，始终相等。圆上的点的位置精确到千分之一度，拖动和滚轮每次走0.1°（屏上约半个像素），所以写“=”的角都是那一点的精确值。P离开圆时张角是测出来的，写“≈”；只有P在圆心时，张角就是圆心角，是精确的。
值得注意的现象
- P越过A或B，就到了另一段弧上，所对的是圆周的其余部分：角变成180°减去原来的角。面板里的∠AOB是弦的圆心角，不超过180°；P在劣弧上时，画面用的是优角。
- P滑向A时，弦PA变成A处的切线，切线与AB的夹角（弦切角）等于它所夹的弧的一半。P正好在A上时P处没有角；页面画出切线与AB所成的两个角，它们是P从两段弧趋近时的极限。
- 选任意位置，P可以离开圆。在AB的同一侧，圆内的张角比圆上大，圆外的比圆上小，所以张角相同的点组成过A、B的一段圆弧，另一侧是它关于AB的镜像。这个逆命题就是用角判定四点共圆的依据。比较只在AB的同一侧成立：另一侧圆上的角是它的补角。
操作
- 沿圆拖动P、A或B，或用它们的方向键（1°，按住Shift为0.1°）。拖P时，在圆心正好落在角的一边上的位置会吸住；选任意位置时，P会吸到圆上和圆心。∠AOB可以键入度数（保留两位小数），范围1°到180°。
- 演示打开适合投影的全屏视图：← →移动P，H隐藏各个角，图形保留。分享复制当前图形的链接。