Çevre açı

Çevre açı $\angle APB$, köşesi P çember üzerinde olan ve kenarları çemberin başka iki noktası A ile B üzerinden geçen açıdır. A’dan B’ye uzanan ve P’yi içermeyen yayı görür. Aynı yayı gören merkez açı, O merkezinde OA ile OB arasındaki açıdır; yay yarım çemberden büyükse bu, 180°’den büyük olan refleks açıdır. Çevre açı teoremi, çevre açının aynı yayı gören merkez açının yarısı olduğunu söyler. Bu yüzden köşeleri aynı yayda olan çevre açılar eşittir, yarım çemberdeki çevre açı diktir (Thales) ve bir kirişler dörtgeninin karşılıklı açıları toplamı 180°’dir.

İkizkenar üçgenler seçeneği ispatı gösterir. OP, OA ve OB yarıçap olduğundan OPA ve OPB üçgenleri ikizkenardır; taban açıları $\alpha = \angle OPA$ ve $\beta = \angle OPB$ olur. PO’yu çapın diğer ucu P′ noktasına kadar uzatın: O’daki dış açılar 2α ve 2β olur. O açının içindeyken bunların toplamı merkez açıyı verir, çevre açı ise $\alpha + \beta$ olur. O dışarıdayken merkez açı bunların farkıdır, çevre açı da $|\alpha - \beta|$ olur. P hareket ettikçe α ve β değişir, ancak toplamları ya da farkları sabit kalır. P′ tam A veya B’den geçerken O açının bir kenarında bulunur ve gösterilen işlem + işaretinden − işaretine geçer.

Sayfa α ve β’yi P’nin kendi konumundan hesaplar ve ∠APB’yi “yay ÷ 2” değerinin yanında gösterir: ayrı ayrı hesaplanan bu iki değer her zaman aynıdır. Çember üzerindeki konumlar derecenin binde biri cinsinden tam olarak saklanır; sürükleme veya tekerleği çevirme konumu 0,1°’lik adımlarla değiştirir (ekranda yarım piksel). Bu nedenle “=” ile gösterilen her açı, o noktadaki tam değerdir. P çember üzerinde değilse açı ölçülür ve ≈ ile işaretlenir; O noktası bunun istisnasıdır, çünkü orada açı tam olarak merkez açıdır.