Pisagor teoremi

Pisagor teoremi (Çincede Gougu teoremi olarak da bilinir), $C$ köşesi dik olan bir üçgende $a$ ve $b$ dik kenarları ile $c$ hipotenüsünün $a^2 + b^2 = c^2$ bağıntısını sağladığını söyler. Dik kenarlar üzerindeki karelerin alanları toplamı, hipotenüs üzerindeki karenin alanıdır. Tersi de geçerlidir: $a^2 + b^2 = c^2$ bağıntısını sağlayan bir üçgende $C$ açısı diktir. Sayfa, Öklid'in şeklini (Elemanlar I.47) çizer ve $C$ açısının dik açıdan ayrılmasına izin vererek kosinüs teoremine geçer.

Her yükseklik, karşı kenar üzerindeki kare boyunca uzatıldığında kareyi iki dikdörtgene ayırır. Bir köşenin yanındaki dikdörtgenin alanı, o köşede birleşen iki kenarın çarpımı ile köşe açısının kosinüsünün çarpımıdır. Aynı köşenin yanındaki, orada birleşen iki kareden birer tane gelen dikdörtgenler eş alanlıdır: $A$ yanında taralı, $B$ yanında noktalı, $C$ yanında sarı. Üç karenin parçalarını toplamak kosinüs teoremini verir. $C$ açısı dik olduğunda sarı parçalar kaybolur ve $C$ köşesinden inen yükseklik, $c$ üzerindeki kareyi tam olarak $a^2$ ve $b^2$ alanlarına böler. Açı dik değilse sarı parçalar farkı oluşturur; her biri $ab\cos C$ değerindedir: $C$ dar olduğunda pozitif, geniş olduğunda negatiftir. Bir parçanın alanı ancak kendi köşesindeki açı genişse negatiftir ve parça karenin dışında çizilir. Bu durumda aynı karenin diğer parçası karenin kendisinden büyüktür.

Üç ispat üç soruya cevap verir. Kaykılma (Öklid), $a^2$ alanındaki $B$ yanındaki parçayı $c$ üzerindeki kareye taşır. Kaykılma tabanı ve yüksekliği, çeyrek dönüş ise şekli ve boyutları korur; dolayısıyla animasyonun her karesinde alan aynıdır. Açı 90° değilse yalnızca bu parça hareket eder, sarılar yerinde kalır. Parçalama (Zhao Shuang'ın şekli, 3. yüzyıl), üçgenin dört eş kopyası ve kenarı $|b - a|$ olan bir kareyle $c^2$ alanını doldurur: $4\cdot\tfrac12 ab + (b-a)^2 = a^2 + b^2$. İki kopya köşeler etrafında döndürülünce $a^2$ ve $b^2$ doldurulur. Benzerlik, üçgeni yüksekliği boyunca, $a$ ve $b$ üzerinde kendisine benzer iki üçgene ayırır. Benzer şekillerin alanları bir kenarın karesiyle orantılıdır; bu yüzden üç kenar üzerindeki yarım daireler, eşkenar üçgenler veya üçgenin benzerleri, kareler gibi toplanır.