畢氏定理

畢氏定理（畢達哥拉斯定理，中文也稱勾股定理）指出：在$C$為直角的三角形中，兩條直角邊$a$、$b$與斜邊$c$滿足$a^2 + b^2 = c^2$，也就是兩條直角邊上的正方形面積之和，等於斜邊上的正方形面積。逆定理也成立：滿足$a^2 + b^2 = c^2$的三角形，$C$是直角。本頁畫出歐幾里得的圖（幾何原本I.47），並讓$C$離開直角，定理就推廣為餘弦定理。

每條高線延伸穿過對邊上的正方形，將它分成兩個長方形。靠近某頂點的長方形，面積是該頂點相交的兩邊長度之積，再乘以該角的餘弦；同一頂點旁的兩塊（分別位於相交的兩個正方形中）面積相等：$A$旁畫斜線，$B$旁畫點，$C$旁塗黃色。將三個正方形的圖塊相加，就得到餘弦定理。$C$為直角時，黃色圖塊消失，從$C$作的高線將$c$上的正方形恰好分成$a^2$與$b^2$。不是直角時，黃色圖塊就是差距，每塊為$ab\cos C$：$C$為銳角時為正，鈍角時為負。任何圖塊都恰在其頂點為鈍角時為負，並畫在正方形外側；此時同一正方形中的另一塊比整個正方形還大。

三種證明回答三個問題。剪切（歐幾里得）將$a^2$中靠近$B$的圖塊移入$c$上的正方形：剪切保持底與高，旋轉四分之一圈保持形狀與大小，所以每一影格面積不變；不是90°時只移動這一塊，黃色圖塊留在原處。割補（趙爽弦圖，三世紀）以四個全等的三角形與一個邊長為$|b - a|$的正方形填滿$c^2$，$4\cdot\tfrac12 ab + (b-a)^2 = a^2 + b^2$，再將其中兩個三角形繞角旋轉，填滿$a^2$與$b^2$。相似沿高線將三角形分成兩個與原三角形相似的小三角形，分別位於$a$與$b$上；相似圖形的面積與邊長平方成正比，所以三邊上的半圓、正三角形或三角形本身，都像正方形一樣滿足面積的加法關係。