Теорема Пифагора

Теорема Пифагора (в Китае также теорема гоугу) утверждает: в треугольнике с прямым углом при $C$ катеты $a$ и $b$ и гипотенуза $c$ удовлетворяют равенству $a^2 + b^2 = c^2$. Квадраты на катетах вместе имеют площадь квадрата на гипотенузе. Верно и обратное: в треугольнике с $a^2 + b^2 = c^2$ угол при $C$ прямой. Страница воспроизводит рисунок Евклида (Начала I.47) и позволяет $C$ отклониться от прямого угла, переходя к теореме косинусов.

Каждая высота, продолженная через квадрат на противоположной стороне, делит его на два прямоугольника. Площадь прямоугольника у вершины равна произведению двух сходящихся в ней сторон на косинус угла между ними. Два прямоугольника у одной вершины, по одному в каждом из двух примыкающих квадратов, равновелики: заштрихованные у $A$, с точками у $B$, жёлтые у $C$. Сложение частей трёх квадратов даёт теорему косинусов. При прямом угле в $C$ жёлтые части исчезают, а высота из $C$ делит квадрат на $c$ точно на $a^2$ и $b^2$. Если угол не прямой, жёлтые части образуют разность, каждая по $ab\cos C$: положительную при остром $C$ и отрицательную при тупом. Часть отрицательна и нарисована снаружи своего квадрата тогда и только тогда, когда угол у её вершины тупой. Другая часть этого квадрата в таком случае больше самого квадрата.

Три доказательства отвечают на три вопроса. Сдвиг (Евклид) переносит часть $a^2$ рядом с $B$ в квадрат на $c$: сдвиг сохраняет основание и высоту, поворот на четверть оборота — форму и размеры. Поэтому площадь сохраняется в каждом кадре. Вне 90° движется только эта часть, а жёлтые остаются. Разрезание (рисунок Чжао Шуана, III век) заполняет $c^2$ четырьмя равными треугольниками и квадратом со стороной $|b - a|$, $4\cdot\tfrac12 ab + (b-a)^2 = a^2 + b^2$, затем поворачивает два треугольника вокруг вершин, чтобы заполнить $a^2$ и $b^2$. Подобие делит треугольник по высоте на два подобных ему, на $a$ и $b$. Площади подобных фигур меняются пропорционально квадрату стороны, поэтому полукруги, равносторонние треугольники или подобные копии самого треугольника на трёх сторонах складываются так же, как квадраты.