Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore (aussi appelé théorème de Gougu en Chine) affirme que, dans un triangle rectangle en $C$, les côtés de l’angle droit $a$ et $b$ et l’hypoténuse $c$ vérifient $a^2 + b^2 = c^2$ : les carrés sur les deux premiers côtés ont ensemble l’aire du carré sur l’hypoténuse. La réciproque est vraie aussi : un triangle vérifiant $a^2 + b^2 = c^2$ est rectangle en $C$. La page reprend la figure d’Euclide (Éléments I.47) et laisse $C$ s’écarter de l’angle droit, ce qui conduit à la loi des cosinus.

Chaque hauteur, prolongée à travers le carré sur le côté opposé, le partage en deux rectangles. L’aire du rectangle près d’un sommet est le produit des deux côtés qui s’y rencontrent par le cosinus de l’angle en ce sommet. Les deux rectangles près d’un même sommet, dans les deux carrés qui s’y rejoignent, ont la même aire : hachurés près de $A$, pointillés près de $B$, jaunes près de $C$. Additionner les pièces des trois carrés donne la loi des cosinus. Quand l’angle en $C$ est droit, les pièces jaunes disparaissent et la hauteur issue de $C$ partage le carré sur $c$ exactement en $a^2$ et $b^2$. Sinon, les pièces jaunes constituent la différence, chacune valant $ab\cos C$ : positive si $C$ est aigu, négative s’il est obtus. Une pièce est négative et dessinée hors de son carré exactement lorsque l’angle à son sommet est obtus ; l’autre pièce de ce carré est alors plus grande que le carré.

Les trois démonstrations répondent à trois questions. Cisaillement (Euclide) déplace la pièce de $a^2$ près de $B$ dans le carré sur $c$ : un cisaillement conserve base et hauteur, un quart de tour conserve forme et dimensions. L’aire reste donc constante à chaque image ; hors de 90°, seule cette pièce bouge et les jaunes restent en place. Découpage (figure de Zhao Shuang, IIIe siècle) remplit $c^2$ avec quatre copies du triangle et un carré de côté $|b - a|$, $4\cdot\tfrac12 ab + (b-a)^2 = a^2 + b^2$, puis fait tourner deux copies autour de sommets pour remplir $a^2$ et $b^2$. Similitude partage le triangle suivant sa hauteur en deux triangles semblables à lui, sur $a$ et $b$. Les aires de figures semblables varient comme le carré d’un côté : demi-disques, triangles équilatéraux ou copies du triangle sur les trois côtés s’additionnent donc comme les carrés.