Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras (também chamado teorema de Gougu na China) afirma que, num triângulo com ângulo reto em $C$, os catetos $a$ e $b$ e a hipotenusa $c$ satisfazem $a^2 + b^2 = c^2$: os quadrados sobre os catetos têm, juntos, a área do quadrado sobre a hipotenusa. O recíproco também vale: um triângulo com $a^2 + b^2 = c^2$ tem ângulo reto em $C$. A página desenha a figura de Euclides (Elementos I.47) e permite que $C$ se afaste do ângulo reto, levando à lei dos cossenos.

Cada altura, prolongada através do quadrado sobre o lado oposto, divide-o em dois retângulos. A área do retângulo junto de um vértice é o produto dos dois lados que aí se encontram pelo cosseno desse ângulo. Os dois retângulos junto do mesmo vértice, um em cada quadrado que aí chega, têm a mesma área: hachurados junto de $A$, pontilhados junto de $B$, amarelos junto de $C$. Somar as peças dos três quadrados dá a lei dos cossenos. Quando o ângulo em $C$ é reto, as peças amarelas desaparecem e a altura a partir de $C$ divide o quadrado sobre $c$ exatamente em $a^2$ e $b^2$. Fora do ângulo reto, as peças amarelas formam a diferença, cada uma $ab\cos C$: positiva quando $C$ é agudo, negativa quando é obtuso. Uma peça é negativa e desenhada fora do seu quadrado exatamente quando o ângulo no seu vértice é obtuso; a outra peça desse quadrado é então maior do que o quadrado.

As três demonstrações respondem a três perguntas. Cisalhamento (Euclides) move a peça de $a^2$ junto de $B$ para o quadrado sobre $c$: o cisalhamento mantém a base e a altura, e um quarto de volta mantém a forma e as dimensões. Assim, cada fotograma conserva a área; fora de 90°, só essa peça se move e as amarelas ficam. Disseção (figura de Zhao Shuang, século III) preenche $c^2$ com quatro cópias congruentes do triângulo e um quadrado de lado $|b - a|$, $4\cdot\tfrac12 ab + (b-a)^2 = a^2 + b^2$, e roda duas cópias em torno de vértices para preencher $a^2$ e $b^2$. Semelhança divide o triângulo pela altura em dois semelhantes a ele, sobre $a$ e $b$. As áreas de figuras semelhantes variam com o quadrado de um lado, pelo que semicírculos, triângulos equiláteros ou o próprio triângulo sobre os três lados se somam como os quadrados.