Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras (pythagoreischer Lehrsatz; in China auch Gougu-Satz) besagt: In einem Dreieck mit rechtem Winkel bei $C$ erfüllen die Katheten $a$ und $b$ und die Hypotenuse $c$ die Gleichung $a^2 + b^2 = c^2$. Die Kathetenquadrate haben zusammen die Fläche des Hypotenusenquadrats. Auch die Umkehrung gilt: Ein Dreieck mit $a^2 + b^2 = c^2$ hat bei $C$ einen rechten Winkel. Die Seite zeigt Euklids Figur (Elemente I.47) und lässt $C$ vom rechten Winkel abweichen. So geht der Satz in den Kosinussatz über.

Jede Höhe wird durch das Quadrat über der gegenüberliegenden Seite verlängert und teilt es in zwei Rechtecke. Das Rechteck neben einem Eckpunkt hat die Fläche: Produkt der beiden dort zusammentreffenden Seiten mal Kosinus des dortigen Winkels. Die beiden Rechtecke neben demselben Eckpunkt, je eines in den zwei dort zusammentreffenden Quadraten, sind flächengleich: schraffiert bei $A$, gepunktet bei $B$, gelb bei $C$. Das Addieren der Teile aller drei Quadrate ergibt den Kosinussatz. Ist der Winkel bei $C$ recht, verschwinden die gelben Teile, und die Höhe von $C$ teilt das Quadrat über $c$ genau in $a^2$ und $b^2$. Sonst bilden die gelben Teile die Differenz, jeweils $ab\cos C$: positiv bei spitzem $C$, negativ bei stumpfem Winkel. Eine Teilfläche ist genau dann negativ und außerhalb ihres Quadrats gezeichnet, wenn der Winkel an ihrem Eckpunkt stumpf ist. Der andere Teil desselben Quadrats ist dann größer als das Quadrat.

Die drei Beweise beantworten drei Fragen. Scherung (Euklid) bewegt den Teil von $a^2$ neben $B$ in das Quadrat über $c$: Eine Scherung erhält Grundseite und Höhe, eine Vierteldrehung erhält Form und Größe. Deshalb bleibt die Fläche in jedem Bild gleich; abseits von 90° wird nur dieser Teil bewegt, die gelben bleiben zurück. Zerlegung (Zhao Shuangs Figur, 3. Jahrhundert) füllt $c^2$ mit vier kongruenten Dreiecken und einem Quadrat der Seitenlänge $|b - a|$, $4\cdot\tfrac12 ab + (b-a)^2 = a^2 + b^2$. Zwei der Dreiecke werden um Ecken gedreht und füllen dann zusammen mit den übrigen Teilen $a^2$ und $b^2$. Ähnlichkeit teilt das Dreieck entlang seiner Höhe in zwei zu ihm ähnliche Dreiecke über $a$ und $b$. Die Flächen ähnlicher Figuren skalieren mit dem Quadrat einer Seitenlänge; daher addieren sich auch Halbkreise, gleichseitige Dreiecke oder Kopien des Dreiecks über den drei Seiten wie die Quadrate.