مبرهنة فيثاغورس

تنص مبرهنة فيثاغورس (وتُسمّى في الصينية أيضًا مبرهنة غوغو) على أنه في مثلث قائم عند $C$، يحقق ضلعا الزاوية القائمة $a$ و$b$ والوتر $c$ العلاقة $a^2 + b^2 = c^2$: مجموع مساحتي المربعين على ضلعي الزاوية القائمة يساوي مساحة المربع على الوتر. والعكس صحيح أيضًا: المثلث الذي يحقق $a^2 + b^2 = c^2$ تكون زاويته عند $C$ قائمة. ترسم الصفحة شكل إقليدس (العناصر ⁦I.47⁩)، وتسمح لـ$C$ بالابتعاد عن الزاوية القائمة، فتنتقل المبرهنة إلى قانون جيب التمام.

كل ارتفاع، عند تمديده عبر المربع على الضلع المقابل، يقسمه إلى مستطيلين. مساحة المستطيل المجاور لرأس تساوي حاصل ضرب الضلعين الملتقيين هناك في جيب تمام الزاوية عنده. والمستطيلان المجاوران للرأس نفسه، كل منهما في أحد المربعين الملتقيين هناك، متساويا المساحة: مخططان عند $A$، ومنقّطان عند $B$، وأصفران عند $C$. جمع قطع المربعات الثلاثة يعطي قانون جيب التمام. عندما تكون الزاوية عند $C$ قائمة، تختفي القطع الصفراء، ويقسم الارتفاع من $C$ المربع على $c$ إلى $a^2$ و$b^2$ بالضبط. وعندما لا تكون قائمة، تشكّل القطع الصفراء الفارق، وكل منها $ab\cos C$: موجبة إذا كانت $C$ حادة، وسالبة إذا كانت منفرجة. تكون أي قطعة سالبة وتُرسم خارج مربعها إذا وفقط إذا كانت الزاوية عند رأسها منفرجة؛ وعندها تكون القطعة الأخرى من ذلك المربع أكبر من المربع نفسه.

تجيب البراهين الثلاثة عن ثلاثة أسئلة. ينقل القص (إقليدس) قطعة $a^2$ المجاورة لـ$B$ إلى المربع على $c$: يحفظ القص القاعدة والارتفاع، ويحفظ ربع الدوران الشكل والأبعاد، فتبقى المساحة ثابتة في كل لقطة. خارج ⁦90°⁩ تتحرك تلك القطعة فقط وتبقى الصفراء. يملأ التقطيع (رسم تشاو شوانغ، القرن الثالث) $c^2$ بأربع نسخ متطابقة من المثلث ومربع ضلعه $|b - a|$، $4\cdot\tfrac12 ab + (b-a)^2 = a^2 + b^2$، ثم يدير نسختين حول رأسين لملء $a^2$ و$b^2$. يقسم التشابه المثلث على ارتفاعه إلى مثلثين مشابهين له على $a$ و$b$. تتناسب مساحات الأشكال المتشابهة مع مربع طول الضلع، لذا تُجمع مساحات أنصاف الدوائر أو المثلثات المتساوية الأضلاع أو نسخ مشابهة من المثلث نفسه على الأضلاع الثلاثة كما تُجمع مساحات المربعات.