الزاوية المحيطية: تصوّر تفاعلي

نظرية الزاوية المحيطية في هذا التصوّر

الزاوية المحيطية ⁦ $\angle APB$ ⁩ رأسها ⁦P⁩ على دائرة، ويمر ضلعاها بنقطتين أخريين ⁦A⁩ و⁦B⁩ على الدائرة. وهي تقابل القوس من ⁦A⁩ إلى ⁦B⁩ الذي لا يحتوي على ⁦P⁩. والزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس هي الزاوية عند المركز ⁦O⁩ بين ⁦OA⁩ و⁦OB⁩، أي الزاوية المنعكسة إذا كان القوس أكبر من نصف دائرة. تنص نظرية الزاوية المحيطية على أن الزاوية المحيطية نصف الزاوية المركزية المقابلة للقوس نفسه. لذلك تتساوى الزوايا المحيطية التي تقع رؤوسها على قوس واحد، وتكون الزاوية المحيطية في نصف دائرة قائمة (نظرية طاليس)، ويكون مجموع الزاويتين المتقابلتين في رباعي دائري ⁦180°⁩.

النظرية وسبب صحتها: ⁦OP = OA = OB⁩

\angle APB = \tfrac12\,\angle AOB, \qquad \angle AOP' = 2\alpha,\ \ \angle BOP' = 2\beta

يعرض خيار مثلثان متساويا الساقين البرهان. القطع ⁦OP⁩ و⁦OA⁩ و⁦OB⁩ أنصاف أقطار، لذا فإن المثلثين ⁦OPA⁩ و⁦OPB⁩ متساويا الساقين، وزاويتا القاعدة هما ⁦ $\alpha = \angle OPA$ ⁩ و⁦ $\beta = \angle OPB$ ⁩. مدّ ⁦PO⁩ إلى الطرف الآخر ⁦P′⁩ من القطر: الزاويتان الخارجيتان عند ⁦O⁩ هما ⁦2α⁩ و⁦2β⁩. عندما يكون ⁦O⁩ داخل الزاوية، يكون مجموعهما الزاوية المركزية وتكون الزاوية المحيطية ⁦ $\alpha + \beta$ ⁩؛ وعندما يكون خارجها، تكون الزاوية المركزية الفرق بينهما والزاوية المحيطية ⁦ $|\alpha - \beta|$ ⁩. مع حركة ⁦P⁩ تتغير ⁦α⁩ و⁦β⁩، لكن مجموعهما أو الفرق بينهما يبقى ثابتًا. يتحول الحساب المعروض من ⁦+⁩ إلى ⁦−⁩ بالضبط حين يمر ⁦P′⁩ بالنقطة ⁦A⁩ أو ⁦B⁩ ويقع ⁦O⁩ على أحد ضلعي الزاوية.

تحسب الصفحة ⁦α⁩ و⁦β⁩ من موضع ⁦P⁩ نفسه، وتعرض ⁦∠APB⁩ بجانب «القوس ÷ ⁦2⁩»: قيمتان محسوبتان بصورة مستقلة تتفقان دائمًا. تُحفظ المواضع على الدائرة بدقة بأجزاء من ألف من الدرجة، ويغيّرها السحب أو تدوير العجلة بخطوات مقدارها ⁦0.1°⁩ (نصف بكسل على الشاشة). لذا فإن كل زاوية معروضة بعلامة ⁦=⁩ هي القيمة الدقيقة عند ذلك الموضع. إذا لم يكن ⁦P⁩ على الدائرة، تُقاس الزاوية وتُوسم بـ⁦≈⁩، ما عدا عند ⁦O⁩ حيث تساوي الزاوية المركزية تمامًا.

ما الذي تلاحظه؟

عندما يتجاوز ⁦P⁩ النقطة ⁦A⁩ أو ⁦B⁩، ينتقل إلى القوس الآخر وتقابل زاويته بقية الدائرة: تصبح الزاوية ⁦180°⁩ ناقص الزاوية السابقة. يمثّل ⁦∠AOB⁩ في اللوحة الزاوية المركزية للوتر، وهي لا تتجاوز ⁦180°⁩؛ وعندما يكون ⁦P⁩ على القوس الأصغر، يستخدم الرسم الزاوية المنعكسة.
كلما اقترب ⁦P⁩ من ⁦A⁩، اقترب الوتر ⁦PA⁩ من المماس عند ⁦A⁩. والزاوية بين المماس و⁦AB⁩ (زاوية المماس والوتر) تساوي نصف القوس الذي تقابله. حين ينطبق ⁦P⁩ على ⁦A⁩ تمامًا، لا توجد زاوية عند ⁦P⁩؛ وتعرض الصفحة زاويتي المماس مع ⁦AB⁩، وهما النهايتان حين يقترب ⁦P⁩ من كل من القوسين.
مع خيار في أي مكان، يمكن أن يغادر ⁦P⁩ محيط الدائرة. في الجانب الذي يقع فيه ⁦P⁩ من ⁦AB⁩، تكون الزاوية أكبر داخل الدائرة وأصغر خارجها. لذلك تشكّل النقاط التي ترى ⁦AB⁩ بزاوية واحدة قوسًا يمر بـ⁦A⁩ و⁦B⁩، ومعه صورته بالانعكاس في الجانب الآخر من ⁦AB⁩. يسمح عكس النظرية هذا بإثبات وقوع أربع نقاط على دائرة واحدة من خلال مقارنة الزوايا. قارن فقط في الجانب نفسه من ⁦AB⁩: في الجانب الآخر، تكون زاوية الدائرة مكملة للزاوية الأولى إلى ⁦180°⁩.

عناصر التحكم

اسحب ⁦P⁩ أو ⁦A⁩ أو ⁦B⁩ على امتداد الدائرة، أو استخدم مفاتيح الأسهم الخاصة بها (⁦1°⁩، ومع Shift تصبح الخطوة ⁦0.1°⁩). أثناء سحب ⁦P⁩، ينجذب إلى المواضع التي يقع فيها ⁦O⁩ على أحد ضلعي الزاوية؛ ومع خيار «في أي مكان»، ينجذب أيضًا إلى الدائرة وإلى ⁦O⁩. يمكن إدخال ⁦∠AOB⁩ بالدرجات بمنزلتين عشريتين، من ⁦1°⁩ إلى ⁦180°⁩.
يفتح زر عرض وضع ملء الشاشة لأجهزة العرض: تحرّك مفاتيح ⁦← →⁩ النقطة ⁦P⁩، ويخفي مفتاح ⁦H⁩ الزوايا مع إبقاء الشكل. ينسخ زر مشاركة رابطًا إلى الشكل الحالي.

مواضيع ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Inscribed angle (الإنجليزية); Euclid’s Elements, Book III, Proposition 20 (ed. D. E. Joyce) (الإنجليزية).