이 시각화로 보는 원주각 정리
원주각 는 꼭짓점 P가 원 위에 있고, 두 변이 원 위의 다른 두 점 A, B를 지나는 각입니다. P를 포함하지 않는 A에서 B까지의 호에 대한 각이며, 같은 호에 대한 중심각은 중심 O에서 OA와 OB가 이루는 각입니다. 호가 반원보다 길면 180°보다 큰 각을 사용합니다. 원주각 정리에 따르면 원주각은 같은 호에 대한 중심각의 절반입니다. 따라서 같은 호 위에 꼭짓점이 있는 원주각은 모두 같고, 반원에 대한 원주각은 직각이며(탈레스 정리), 원에 내접하는 사각형의 마주 보는 두 각의 합은 180°입니다.
이등변삼각형을 켜면 증명이 나타납니다. OP, OA, OB는 반지름이므로 삼각형 OPA와 OPB는 이등변삼각형이고, 밑각은 와 입니다. PO를 지름의 반대쪽 끝점 P′까지 연장하면 O에서의 외각은 2α와 2β가 됩니다. O가 각의 내부에 있으면 이 둘의 합이 중심각이며 원주각은 입니다. O가 외부에 있으면 중심각은 둘의 차이고 원주각은 입니다. P가 움직이면 α와 β는 변하지만 그 합 또는 차는 일정합니다. P′가 A 또는 B를 지나고 O가 각의 한 변 위에 놓이는 바로 그 지점에서 표시된 연산이 +에서 −로 바뀝니다.
이 페이지는 P의 위치로부터 α와 β를 계산하고 ∠APB를 ‘호 ÷ 2’ 옆에 표시합니다. 별도로 계산한 두 값은 언제나 일치합니다. 원 위의 위치는 0.001° 단위로 정확히 저장되며, 드래그나 휠 조작으로 0.1°씩 움직입니다(화면에서 반 픽셀). 따라서 ‘=’로 표시되는 각은 해당 위치에서의 정확한 값입니다. P가 원 위에 있지 않으면 각을 측정하고 ≈를 붙입니다. 단, O에서는 정확히 중심각과 같습니다.
살펴볼 점
- P가 A나 B를 지나면 다른 호로 옮겨가 원의 나머지 호에 대한 각이 됩니다. 새 각은 180°에서 이전 각을 뺀 값입니다. 패널의 ∠AOB는 현에 대한 중심각으로 최대 180°입니다. P가 짧은 호 위에 있을 때 그림에서는 180°보다 큰 각을 사용합니다.
- P가 A로 다가가면 현 PA는 A에서의 접선에 가까워집니다. 접선과 AB가 이루는 각(접선과 현이 이루는 각)은 대응하는 호의 절반입니다. P가 A와 정확히 겹치면 P에서의 각은 정의되지 않습니다. 이때 페이지는 접선과 AB가 이루는 두 각을 보여 줍니다. 각각의 호에서 P가 접근할 때의 극한입니다.
- 어디든을 선택하면 P를 원 위에서 벗어나게 할 수 있습니다. AB를 기준으로 P가 있는 쪽에서는 원 내부의 각이 더 크고 외부의 각이 더 작습니다. 따라서 AB를 같은 각도로 바라보는 점들은 A와 B를 지나는 호를 이루며, AB 반대쪽에는 이를 대칭이동한 호가 생깁니다. 이 역을 이용하면 각을 비교하여 네 점이 한 원 위에 있음을 보일 수 있습니다. 비교는 AB의 같은 쪽에서만 하세요. 반대쪽 원 위의 각은 원래 각의 보각입니다.
조작 방법
- P, A, B를 원을 따라 드래그하거나 각 점의 화살표 키를 사용하세요(1°, Shift와 함께 누르면 0.1°). P를 드래그하면 O가 각의 한 변 위에 놓이는 위치에 달라붙습니다. ‘어디든’에서는 원과 O에도 달라붙습니다. ∠AOB는 1°부터 180°까지 소수 둘째 자리까지 도 단위로 입력할 수 있습니다.
- 발표는 프로젝터용 전체 화면을 엽니다. ← →로 P를 움직이고 H로 그림은 그대로 둔 채 각도를 숨깁니다. 공유는 현재 그림의 링크를 복사합니다.
관련 항목
더 읽어 보기: Wikipedia: Inscribed angle (영어); Euclid’s Elements, Book III, Proposition 20 (ed. D. E. Joyce) (영어).