この図で見る円周角の定理
円周角は、頂点Pが円周上にあり、2辺が円周上のほかの2点A、Bを通る角です。Pを含まないAからBまでの弧に対する角であり、同じ弧に対する中心角は、中心OでOAとOBがなす角です。弧が半円より長ければ、中心角は180°を超える優角になります。円周角の定理によると、円周角は同じ弧に対する中心角の半分です。したがって、同じ弧上に頂点をもつ円周角はすべて等しく、半円の弧に対する円周角は直角になり（タレスの定理）、円に内接する四角形の対角の和は180°になります。
二等辺三角形を表示すると、証明が見えてきます。OP、OA、OBは半径なので、三角形OPAとOPBは二等辺三角形で、その底角がとです。POを直径の反対側の端P′まで延ばすと、Oでの外角は2αと2βになります。Oが角の内側にあれば、この2つを足したものが中心角で、円周角はです。Oが外側にあれば、中心角は2つの差で、円周角はです。Pが動くとαとβは変化しますが、その和または差は変わりません。P′がAまたはBを通過し、Oが角の一辺に重なるちょうどその場所で、表示が+から−に切り替わります。
このページではPの位置からαとβを計算し、∠APBと「弧 ÷ 2」を並べています。別々に計算した2つの値が、いつも一致します。円周上の位置は0.001°単位で正確に保持され、ドラッグやホイールでは0.1°刻み（画面上で約半ピクセル）に動きます。そのため「=」で表示される角は、その点での正確な値です。Pが円周を離れると角を測定し、≈を付けて表示します。ただしOでは、正確に中心角と等しくなります。
注目するところ
- PがAまたはBを越えると、もう一方の弧へ移り、円の残りの部分に対する円周角になります。新しい角は180°から元の角を引いた値です。パネルの∠AOBは弦に対する中心角で、最大180°です。Pが短い弧上にあるとき、図では180°を超える優角を使います。
- PをAに近づけると、弦PAはAでの接線に近づきます。接線とABのなす角（接弦角）は、対応する弧の半分です。PがAに完全に重なると、Pでの角は定まりません。このページでは、接線とABがなす2つの角を表示します。それぞれの弧からPを近づけたときの極限です。
- 自由に移動を選ぶと、Pを円周から離せます。ABに対してPと同じ側では、円の内部で角が大きく、外部で小さくなります。そのため、一定の角でABを見込む点はAとBを通る弧をなし、ABの反対側にはその対称な弧ができます。この逆の性質を使うと、角を調べて4点が同一円周上にあることを示せます。比較するのはABの同じ側だけです。反対側では、円周角は元の角の補角になります。
操作方法
- P、A、Bを円周に沿ってドラッグするか、矢印キーで動かします（1°刻み、Shift併用で0.1°刻み）。Pをドラッグすると、Oが角の一辺に重なる位置に吸着します。「自由に移動」では、Pが円周とOにも吸着します。∠AOBは1°から180°の範囲で、小数第2位まで度数を入力できます。
- プレゼンでは、プロジェクター向けの全画面表示が開きます。← →でPを動かし、Hで図を残したまま角度を隠せます。共有では、現在の図へのリンクをコピーできます。