ラジアン

円の中心にある角は、円周から弧を切り取ります。角をラジアンで表すとき、その大きさは弧の長さを半径で割った$\theta = s/r$、つまり弧が半径の何倍の長さかを示す数です。角を固定すると弧の長さは半径に比例するので、この比は円の大きさによりません。弧の長さが半径とちょうど等しい角が1ラジアンで、$180^\circ/\pi \approx 57.2958^\circ$となります。円周の長さは$2\pi r$なので、1周は$2\pi$ラジアンです。この測り方なら、弧の長さは$s = r\theta$、扇形の面積は$\tfrac12 r^2\theta$です。

図では半径OAが物差しです。rで測るを押すと、半径1本分ずつを、長さを変えずに曲げて円周に沿わせます。弧には半径1本分ごとに目盛りが付きます。円周には半径が6本分入り、$2\pi - 6 \approx 0.2832$本分が残ります。半径$r/3$と$2r/3$の同心円では、それぞれの半径の長さで目盛りを付けても同じ半直線上に並びます。角度は円の大きさによりません。

微積分でラジアンを使う理由を見てみましょう。単位円では三角形OAPが扇形OAPの内側にあり、その扇形は三角形OATの内側にあります。TはAでの接線上の点です。面積は順に$\tfrac12\sin\theta$、$\tfrac12\theta$、$\tfrac12\tan\theta$。$\tfrac12\sin\theta$で割り、逆数を取ると、上のはさみうちが得られます。$\theta \to 0$のとき$\cos\theta \to 1$なので、$\sin\theta/\theta \to 1$です。この比は偶関数なので、左側からの極限も同じです。この極限がsinの0での傾きであり、$(\sin x)' = \cos x$を導く最初の一歩になります。

ラジアンが関わるのは、扇形の面積$\tfrac12\theta$のところです。角を度で測り、$x^\circ$とすると、扇形の面積は$(\pi/360)\,x$になります。$x \to 0$のとき、同じはさみうちから$\sin x^\circ/x \to \pi/180 \approx 0.017453$が得られます。つまり、度で測ったsinの0での傾きは1ではなくπ/180です。