Radián

Un ángulo central de una circunferencia abarca un arco. Su medida en radianes es la longitud de ese arco dividida entre el radio, $\theta = s/r$: cuántas longitudes de radio mide el arco. Para un ángulo fijo, el arco crece en proporción al radio, por lo que este cociente no depende del tamaño de la circunferencia. Un radián es el ángulo cuyo arco mide exactamente lo mismo que el radio, $180^\circ/\pi \approx 57.2958^\circ$; una vuelta completa son $2\pi$ radianes porque la longitud de la circunferencia es $2\pi r$. Con esta medida, un arco tiene longitud $s = r\theta$ y un sector tiene área $\tfrac12 r^2\theta$.

En la imagen, el radio OA es la regla. Medir con r lo coloca tramo a tramo sobre el arco, doblando cada tramo sobre la circunferencia sin cambiar su longitud. El arco lleva una marca por cada longitud de radio. Caben seis radios completos y queda $2\pi - 6 \approx 0.2832$ de un radio. En las circunferencias concéntricas de radios $r/3$ y $2r/3$, las marcas se separan según el radio de cada una y caen sobre las mismas semirrectas: el ángulo no depende del tamaño de la circunferencia.

Por qué el cálculo usa radianes: en la circunferencia unidad, el triángulo OAP está dentro del sector OAP, que a su vez está dentro del triángulo OAT, con T en la tangente en A. Sus áreas son $\tfrac12\sin\theta$, $\tfrac12\theta$ y $\tfrac12\tan\theta$; al dividir entre $\tfrac12\sin\theta$ y tomar los recíprocos, se obtiene el encaje de arriba. Cuando $\theta \to 0$, se cumple $\cos\theta \to 1$, así que $\sin\theta/\theta \to 1$. El cociente es una función par, por lo que el límite por la izquierda es el mismo. Ese límite es la pendiente de sin en 0, el primer paso hacia $(\sin x)' = \cos x$.

Los radianes intervienen a través del área del sector, $\tfrac12\theta$. Si el ángulo se mide en grados, $x^\circ$, el área pasa a ser $(\pi/360)\,x$. Cuando $x \to 0$, el mismo encaje da $\sin x^\circ/x \to \pi/180 \approx 0.017453$: por tanto, en grados, sin tiene pendiente π/180 en 0, no 1.