Радиан

Угол с вершиной в центре окружности высекает на ней дугу. Его величина в радианах равна длине этой дуги, делённой на радиус, $\theta = s/r$: это число радиусов, укладывающихся в длине дуги. При фиксированном угле длина дуги растёт пропорционально радиусу, поэтому отношение не зависит от размера окружности. Один радиан — угол, дуга которого в точности равна радиусу, $180^\circ/\pi \approx 57.2958^\circ$; полный оборот — это $2\pi$ радианов, поскольку длина окружности равна $2\pi r$. При таком измерении длина дуги равна $s = r\theta$, а площадь сектора — $\tfrac12 r^2\theta$.

На рисунке радиус OA служит линейкой. Кнопка Измерить радиусом укладывает его вдоль дуги, отрезок за отрезком, изгибая каждый по окружности без изменения длины. На дуге ставятся отметки через один радиус. Вдоль окружности укладываются шесть целых радиусов, и остаётся $2\pi - 6 \approx 0.2832$ радиуса. На концентрических окружностях радиуса $r/3$ и $2r/3$ расстояния между отметками равны собственному радиусу каждой окружности. Отметки лежат на одних и тех же лучах: угол не зависит от размера окружности.

Почему в математическом анализе используют радианы? В единичном круге треугольник OAP лежит внутри сектора OAP, а сектор — внутри треугольника OAT, где T находится на касательной в точке A. Их площади равны $\tfrac12\sin\theta$, $\tfrac12\theta$ и $\tfrac12\tan\theta$. Разделив на $\tfrac12\sin\theta$ и перейдя к обратным величинам, получаем зажатие, записанное выше. При $\theta \to 0$ имеем $\cos\theta \to 1$, поэтому $\sin\theta/\theta \to 1$. Отношение — чётная функция, так что предел слева тот же. Этот предел равен наклону sin в точке 0 и служит первым шагом к $(\sin x)' = \cos x$.

Радианы появляются в формуле площади сектора, $\tfrac12\theta$. Если измерять угол в градусах, $x^\circ$, площадь сектора будет $(\pi/360)\,x$. При $x \to 0$ то же зажатие даёт $\sin x^\circ/x \to \pi/180 \approx 0.017453$, поэтому в градусах наклон sin в точке 0 равен π/180, а не 1.