Bogenmaß

Ein Winkel im Kreismittelpunkt schneidet einen Bogen ab. Sein Wert im Bogenmaß ist die Bogenlänge geteilt durch den Radius, $\theta = s/r$: also die Anzahl der Radiuslängen, aus denen der Bogen besteht. Bei festem Winkel wächst die Bogenlänge proportional zum Radius. Dieses Verhältnis hängt daher nicht von der Kreisgröße ab. Ein Radiant ist der Winkel, dessen Bogen genau so lang ist wie der Radius, $180^\circ/\pi \approx 57.2958^\circ$. Eine volle Drehung entspricht $2\pi$ Radiant, denn der Umfang beträgt $2\pi r$. In diesem Maß hat ein Bogen die Länge $s = r\theta$ und ein Kreissektor die Fläche $\tfrac12 r^2\theta$.

Im Bild ist der Radius OA der Maßstab. Mit r messen legt ihn Stück für Stück auf den Bogen und biegt jedes Stück auf den Kreis, ohne seine Länge zu verändern. Jeweils nach einer Radiuslänge steht eine Markierung. Sechs ganze Radiuslängen passen auf den Kreisumfang; $2\pi - 6 \approx 0.2832$ einer Radiuslänge bleiben übrig. Auf den konzentrischen Kreisen mit Radius $r/3$ und $2r/3$ beträgt der Abstand der Markierungen jeweils eine eigene Radiuslänge. Sie liegen auf denselben Strahlen: Der Winkel hängt nicht von der Kreisgröße ab.

Warum die Analysis das Bogenmaß verwendet: Im Einheitskreis liegt das Dreieck OAP innerhalb des Kreissektors OAP, dieser wiederum innerhalb des Dreiecks OAT. T liegt dabei auf der Tangente in A. Die Flächen sind $\tfrac12\sin\theta$, $\tfrac12\theta$ und $\tfrac12\tan\theta$. Division durch $\tfrac12\sin\theta$ und anschließende Kehrwertbildung ergeben die obige Einschließung. Für $\theta \to 0$ gilt $\cos\theta \to 1$, also $\sin\theta/\theta \to 1$. Das Verhältnis ist eine gerade Funktion, daher ist der linksseitige Grenzwert derselbe. Dieser Grenzwert ist die Steigung von sin bei 0, der erste Schritt zu $(\sin x)' = \cos x$.

Das Bogenmaß kommt über die Sektorfläche $\tfrac12\theta$ ins Spiel. Misst man den Winkel in Grad, $x^\circ$, so wird daraus die Fläche $(\pi/360)\,x$. Für $x \to 0$ liefert dieselbe Einschließung $\sin x^\circ/x \to \pi/180 \approx 0.017453$. Im Gradmaß hat sin bei 0 also die Steigung π/180 und nicht 1.