Radyan

Merkezi çemberin merkezinde olan bir açı, çember üzerinde bir yay ayırır. Açının radyan cinsinden büyüklüğü, yayın uzunluğunun yarıçapa bölümüdür: $\theta = s/r$. Yani yayın kaç yarıçap uzunluğunda olduğunu söyler. Açı sabitken yay uzunluğu yarıçapla orantılı olarak artar; dolayısıyla bu oran çemberin büyüklüğüne bağlı değildir. Yayı tam bir yarıçap uzunluğunda olan açı bir radyandır, $180^\circ/\pi \approx 57.2958^\circ$. Çemberin çevresi $2\pi r$ olduğu için bir tam tur $2\pi$ radyandır. Bu ölçüyle yay uzunluğu $s = r\theta$, daire diliminin alanı ise $\tfrac12 r^2\theta$ olur.

Şekilde OA yarıçapı cetvel görevi görür. r ile ölç, yarıçapı parça parça yayın üzerine dizer; her parçayı uzunluğunu değiştirmeden çembere büker. Yay, her bir yarıçap uzunluğunda işaretlenir. Çemberin etrafına altı tam yarıçap sığar ve yarıçapın $2\pi - 6 \approx 0.2832$ katı kadar yer kalır. Yarıçapları $r/3$ ve $2r/3$ olan eş merkezli çemberlerde işaret aralıkları her çemberin kendi yarıçapı kadardır. İşaretler aynı ışınlara denk gelir: açı, çemberin büyüklüğüne bağlı değildir.

Analizde neden radyan kullanılır? Birim çemberde OAP üçgeni OAP daire diliminin, bu dilim de OAT üçgeninin içindedir; T, A'daki teğetin üzerindedir. Alanları sırasıyla $\tfrac12\sin\theta$, $\tfrac12\theta$ ve $\tfrac12\tan\theta$'dir. $\tfrac12\sin\theta$ ile bölüp terslerini alınca yukarıdaki sıkıştırma elde edilir. $\theta \to 0$ iken $\cos\theta \to 1$ olduğundan $\sin\theta/\theta \to 1$ olur. Oran bir çift fonksiyondur, dolayısıyla soldan limit de aynıdır. Bu limit sin'in 0'daki eğimidir ve $(\sin x)' = \cos x$ sonucuna giden ilk adımdır.

Radyan, daire diliminin alanı $\tfrac12\theta$ üzerinden devreye girer. Açıyı dereceyle ölçüp $x^\circ$ yazarsak dilimin alanı $(\pi/360)\,x$ olur. $x \to 0$ iken aynı sıkıştırma $\sin x^\circ/x \to \pi/180 \approx 0.017453$ sonucunu verir. Bu yüzden derece cinsinden sin'in 0'daki eğimi 1 değil, π/180'dir.