弧度制

圆心角截出一段弧。用弧度量这个角，就是弧长除以半径，$\theta = s/r$：这段弧有几个半径长。同一个角下，弧长和半径同比例变化，所以这个比值与圆的大小无关。弧长正好等于半径时，角就是1弧度，$180^\circ/\pi \approx 57.2958^\circ$；一整圈是$2\pi$弧度，因为周长是$2\pi r$。用弧度量角，弧长是$s = r\theta$，扇形面积是$\tfrac12 r^2\theta$。

画面里，半径OA就是量尺。“用半径量”把它一段一段铺到弧上，每一段弯到圆周上，长度不变。弧上每隔一个半径长有一道刻线。一圈能铺下6个整半径，剩下$2\pi - 6 \approx 0.2832$个半径。半径为$r/3$、$2r/3$的同心圆上，刻线按各自的半径等距排开，而且落在同样的射线上：角的大小与圆的大小无关。

微积分为什么用弧度：在单位圆里，三角形OAP含在扇形OAP里，扇形又含在三角形OAT里（T在A处的切线上）。三块面积是$\tfrac12\sin\theta$、$\tfrac12\theta$、$\tfrac12\tan\theta$，同除以$\tfrac12\sin\theta$再取倒数，就得到上面的夹逼。$\theta \to 0$时$\cos\theta \to 1$，所以$\sin\theta/\theta \to 1$。这个比值是偶函数，左侧的极限相同。这个极限就是sin在0处的斜率，也是推出$(\sin x)' = \cos x$的第一步。

弧度是从扇形面积$\tfrac12\theta$进来的。改用度来量角，记作$x^\circ$，扇形面积就成了$(\pi/360)\,x$。$x \to 0$时，同样的夹逼得到$\sin x^\circ/x \to \pi/180 \approx 0.017453$，所以用度时，sin在0处的斜率是π/180，不是1。