Radiano

Um ângulo ao centro de uma circunferência determina um arco. A sua medida em radianos é o comprimento desse arco dividido pelo raio, $\theta = s/r$: quantos comprimentos de raio mede o arco. Para um ângulo fixo, o arco cresce proporcionalmente ao raio, pelo que esta razão não depende do tamanho da circunferência. Um radiano é o ângulo cujo arco tem exatamente o comprimento do raio, $180^\circ/\pi \approx 57.2958^\circ$; uma volta completa vale $2\pi$ radianos, pois o perímetro é $2\pi r$. Com esta medida, o comprimento de um arco é $s = r\theta$ e a área de um setor é $\tfrac12 r^2\theta$.

Na imagem, o raio OA serve de régua. Medir com r coloca-o sobre o arco, trecho a trecho, curvando cada um sobre a circunferência sem alterar o comprimento. O arco é marcado a cada comprimento de raio. Cabem seis raios inteiros, sobrando $2\pi - 6 \approx 0.2832$ de um raio. Nas circunferências concêntricas de raios $r/3$ e $2r/3$, as marcas estão espaçadas pelo raio de cada uma e ficam sobre as mesmas semirretas: o ângulo não depende do tamanho da circunferência.

Por que razão o cálculo usa radianos: na circunferência unitária, o triângulo OAP está dentro do setor OAP, que está dentro do triângulo OAT, com T na tangente em A. As suas áreas são $\tfrac12\sin\theta$, $\tfrac12\theta$ e $\tfrac12\tan\theta$; dividir por $\tfrac12\sin\theta$ e tomar os inversos dá o confronto acima. Quando $\theta \to 0$, temos $\cos\theta \to 1$, logo $\sin\theta/\theta \to 1$. O quociente é uma função par, portanto o limite à esquerda é o mesmo. Esse limite é o declive de sin em 0, o primeiro passo para $(\sin x)' = \cos x$.

Os radianos entram pela área do setor, $\tfrac12\theta$. Se o ângulo for medido em graus, $x^\circ$, a área passa a ser $(\pi/360)\,x$. Quando $x \to 0$, o mesmo confronto dá $\sin x^\circ/x \to \pi/180 \approx 0.017453$: em graus, sin tem declive π/180 em 0, e não 1.