Ângulo inscrito

Um ângulo inscrito $\angle APB$ tem o vértice P numa circunferência e os lados passam por outros dois pontos A e B dela. O seu arco correspondente vai de A a B e não contém P. O ângulo ao centro correspondente é o ângulo no centro O entre OA e OB — o ângulo côncavo quando o arco é maior do que uma semicircunferência. O teorema do ângulo inscrito diz que o ângulo inscrito mede metade do ângulo ao centro correspondente ao mesmo arco. Assim, todos os ângulos inscritos com vértice num mesmo arco são iguais, um ângulo inscrito numa semicircunferência é reto (Tales) e os ângulos opostos de um quadrilátero cíclico somam 180°.

Triângulos isósceles mostra a demonstração. OP, OA e OB são raios, pelo que os triângulos OPA e OPB são isósceles, com ângulos da base $\alpha = \angle OPA$ e $\beta = \angle OPB$. Prolongue PO até à outra extremidade P′ do diâmetro: os ângulos externos em O são 2α e 2β. Quando O está dentro do ângulo, a soma dos dois dá o ângulo ao centro e o ângulo inscrito é $\alpha + \beta$; quando O está fora, o ângulo ao centro é a diferença dos dois e o ângulo inscrito é $|\alpha - \beta|$. À medida que P se move, α e β variam, mas a soma ou diferença mantém-se. O cálculo apresentado passa de + para − exatamente quando P′ passa por A ou B e O fica num lado do ângulo.

A página calcula α e β a partir da própria posição de P e apresenta ∠APB ao lado de «arco ÷ 2»: dois valores calculados separadamente que coincidem sempre. As posições na circunferência são guardadas de forma exata, em milésimos de grau; arrastar ou usar a roda do rato move-as em passos de 0,1° (meio píxel no ecrã). Por isso, cada ângulo apresentado com «=» é o valor exato nesse ponto. Quando P está fora da circunferência, o ângulo é medido e assinalado com ≈, exceto em O, onde é exatamente o ângulo ao centro.