Der Umfangswinkelsatz in dieser Visualisierung
Ein Umfangswinkel hat seinen Scheitelpunkt P auf einem Kreis. Seine Schenkel gehen durch zwei weitere Kreispunkte A und B. Er steht über dem Bogen von A nach B, der P nicht enthält. Der Mittelpunktswinkel über diesem Bogen liegt bei O zwischen OA und OB; bei einem Bogen größer als ein Halbkreis ist es der überstumpfe Winkel. Der Umfangswinkelsatz besagt, dass der Umfangswinkel halb so groß ist wie der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen. Daher sind Umfangswinkel über demselben Bogen gleich, ein Winkel über einem Halbkreis ist recht (Thales), und gegenüberliegende Winkel eines Sehnenvierecks ergeben zusammen 180°.
Gleichschenklig zeichnet den Beweis. OP, OA und OB sind Radien; die Dreiecke OPA und OPB sind also gleichschenklig mit den Basiswinkeln und . Verlängere PO bis zum anderen Ende P′ des Durchmessers: Die Außenwinkel bei O sind 2α und 2β. Liegt O im Winkel, ergeben sie zusammen den Mittelpunktswinkel und der Umfangswinkel ist . Liegt O außerhalb, ist der Mittelpunktswinkel ihre Differenz und der Umfangswinkel . Beim Bewegen von P ändern sich α und β, während ihre Summe oder Differenz gleich bleibt. Die Anzeige wechselt genau dann von + zu −, wenn P′ durch A oder B geht und O auf einem Schenkel liegt.
Die Seite berechnet α und β aus der Position von P und zeigt ∠APB neben „Bogen ÷ 2“: zwei getrennt berechnete Werte, die stets übereinstimmen. Kreispositionen werden exakt in Tausendstelgrad gespeichert; Ziehen und Drehrad bewegen sie in Schritten von 0.1° (etwa einem halben Bildschirmpixel). Jeder mit „=“ angezeigte Winkel ist daher der exakte Wert an diesem Punkt. Abseits des Kreises wird der Winkel gemessen und mit ≈ markiert, außer bei O: Dort ist er exakt der Mittelpunktswinkel.
Worauf du achten kannst
- Überquert P den Punkt A oder B, liegt es auf dem anderen Bogen und sieht den restlichen Kreis. Der neue Winkel ist 180° minus dem bisherigen. ∠AOB im Bedienfeld ist der Mittelpunktswinkel der Sehne und höchstens 180°. Liegt P auf dem kleinen Bogen, verwendet die Zeichnung den überstumpfen Winkel.
- Nähert sich P dem Punkt A, geht die Sehne PA in die Tangente bei A über. Der Winkel zwischen Tangente und AB, der Sehnen-Tangenten-Winkel, ist halb so groß wie das Winkelmaß des zugehörigen Bogens. Bei P genau auf A gibt es keinen Winkel bei P. Die Seite zeigt die beiden Winkel zwischen Tangente und AB: die Grenzwerte bei Annäherung von den beiden Bögen aus.
- Mit Überall darf P den Kreis verlassen. Auf derselben Seite von AB wie P ist der Winkel innerhalb des Kreises größer und außerhalb kleiner. Daher bilden die Punkte, von denen AB unter demselben Winkel erscheint, einen Bogen durch A und B; auf der anderen Seite liegt sein Spiegelbild an AB. Diese Umkehrung erlaubt es, über Winkel zu prüfen, ob vier Punkte auf einem Kreis liegen. Vergleiche nur auf derselben Seite von AB: Auf der anderen Seite ist der Kreiswinkel der Ergänzungswinkel zu 180°.
Bedienung
- Ziehe P, A oder B auf dem Kreis oder nutze ihre Pfeiltasten (1°, mit Umschalt 0.1°). P rastet dort ein, wo O auf einem Schenkel des Winkels liegt. Mit „Überall“ rastet P am Kreis und bei O ein. ∠AOB lässt sich in Grad mit zwei Nachkommastellen von 1° bis 180° eingeben.
- Präsentieren öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren: ← → bewegen P, H blendet die Winkel aus und lässt die Figur stehen. Teilen kopiert einen Link zur aktuellen Figur.
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Weiterführende Literatur: Wikipedia: Inscribed angle (Englisch); Euclid’s Elements, Book III, Proposition 20 (ed. D. E. Joyce) (Englisch).