Sudut keliling

Sudut keliling $\angle APB$ memiliki titik sudut P pada lingkaran, dan kedua sisinya melalui dua titik lain A dan B pada lingkaran. Sudut ini menghadap busur dari A ke B yang tidak memuat P. Sudut pusat yang menghadap busur tersebut adalah sudut di pusat O antara OA dan OB — sudut refleks jika busurnya melebihi setengah lingkaran. Teorema sudut keliling menyatakan bahwa sudut keliling besarnya setengah sudut pusat yang menghadap busur yang sama. Jadi, semua sudut keliling dengan titik sudut pada satu busur besarnya sama, sudut keliling pada setengah lingkaran adalah sudut siku-siku (Thales), dan sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat siklik berjumlah 180°.

Segitiga sama kaki menampilkan pembuktiannya. OP, OA, dan OB adalah jari-jari, sehingga segitiga OPA dan OPB sama kaki, dengan sudut-sudut alas $\alpha = \angle OPA$ dan $\beta = \angle OPB$. Perpanjang PO hingga ujung diameter yang berseberangan, P′: sudut luar di O adalah 2α dan 2β. Jika O berada di dalam sudut, jumlah keduanya membentuk sudut pusat dan sudut kelilingnya adalah $\alpha + \beta$; jika O di luar, sudut pusat adalah selisih keduanya dan sudut kelilingnya $|\alpha - \beta|$. Saat P bergerak, α dan β berubah tetapi jumlah atau selisihnya tetap. Tampilan perhitungan beralih dari + ke − tepat saat P′ melewati A atau B dan O berada pada salah satu sisi sudut.

Halaman ini menghitung α dan β dari posisi P sendiri, lalu menampilkan ∠APB di samping “busur ÷ 2”: dua nilai yang dihitung secara terpisah dan selalu sama. Posisi pada lingkaran disimpan secara eksak dalam satuan seperseribu derajat; menyeret atau memutar roda menggerakkannya per 0,1° (setengah piksel pada layar). Karena itu, setiap sudut bertanda “=” adalah nilai eksak di titik tersebut. Jika P tidak berada pada lingkaran, sudut diukur dan diberi tanda ≈, kecuali di O, tempat sudutnya tepat sama dengan sudut pusat.