Radian

Sudut di pusat lingkaran membatasi sebuah busur. Besarnya dalam radian adalah panjang busur itu dibagi jari-jari, $\theta = s/r$: berapa kali panjang jari-jari yang termuat dalam busur. Untuk sudut tetap, panjang busur bertambah sebanding dengan jari-jari, sehingga rasio ini tidak bergantung pada ukuran lingkaran. Satu radian adalah sudut yang panjang busurnya tepat sama dengan jari-jari, $180^\circ/\pi \approx 57.2958^\circ$; satu putaran penuh adalah $2\pi$ radian karena keliling lingkaran adalah $2\pi r$. Dengan ukuran ini, panjang busur adalah $s = r\theta$ dan luas juring adalah $\tfrac12 r^2\theta$.

Dalam gambar, jari-jari OA menjadi penggaris. Ukur dengan r meletakkannya sepanjang busur, bagian demi bagian, dengan melengkungkan setiap bagian mengikuti lingkaran tanpa mengubah panjangnya. Busur diberi tanda setiap satu jari-jari. Enam jari-jari utuh muat mengelilingi lingkaran dan tersisa $2\pi - 6 \approx 0.2832$ jari-jari. Pada lingkaran sepusat berjari-jari $r/3$ dan $2r/3$, jarak antartanda sama dengan jari-jari lingkaran masing-masing dan tanda-tandanya jatuh pada sinar yang sama: sudut tidak bergantung pada ukuran lingkaran.

Mengapa kalkulus memakai radian? Dalam lingkaran satuan, segitiga OAP berada di dalam juring OAP, yang berada di dalam segitiga OAT; T terletak pada garis singgung di A. Luasnya masing-masing $\tfrac12\sin\theta$, $\tfrac12\theta$, dan $\tfrac12\tan\theta$. Membagi dengan $\tfrac12\sin\theta$ lalu mengambil kebalikannya menghasilkan pengapitan di atas. Saat $\theta \to 0$, berlaku $\cos\theta \to 1$, sehingga $\sin\theta/\theta \to 1$. Rasio ini merupakan fungsi genap, jadi limit dari kiri juga sama. Limit itu adalah kemiringan sin di 0, langkah pertama menuju $(\sin x)' = \cos x$.

Radian berperan melalui luas juring, $\tfrac12\theta$. Jika sudut diukur dalam derajat, $x^\circ$, luas juring menjadi $(\pi/360)\,x$. Saat $x \to 0$, pengapitan yang sama menghasilkan $\sin x^\circ/x \to \pi/180 \approx 0.017453$, sehingga dalam derajat kemiringan sin di 0 adalah π/180, bukan 1.