الراديان

تقتطع زاوية رأسها في مركز الدائرة قوسًا من محيطها. قياسها بالراديان هو طول ذلك القوس مقسومًا على نصف القطر، $\theta = s/r$: أي عدد أنصاف الأقطار التي تكوّن طول القوس. عند تثبيت الزاوية، يزداد طول القوس بالتناسب مع نصف القطر، فلا تعتمد هذه النسبة على حجم الدائرة. الراديان الواحد هو زاوية يساوي طول قوسها نصف القطر تمامًا، $180^\circ/\pi \approx 57.2958^\circ$؛ والدورة الكاملة تساوي $2\pi$ راديان، لأن محيط الدائرة هو $2\pi r$. بهذا القياس، يكون طول القوس $s = r\theta$ ومساحة القطاع $\tfrac12 r^2\theta$.

في الرسم، يعمل نصف القطر ⁦OA⁩ عمل المسطرة. يضعه زر قس باستخدام ⁦r⁩ على القوس قطعةً بعد قطعة، مع ثني كل قطعة على محيط الدائرة من دون تغيير طولها. توضع علامة على القوس عند كل مسافة تساوي نصف القطر. يتسع محيط الدائرة لست قطع كاملة بطول نصف القطر، ويبقى $2\pi - 6 \approx 0.2832$ من نصف قطر. في الدائرتين متحدتي المركز، ونصفا قطريهما $r/3$ و$2r/3$، تفصل بين العلامات مسافة تساوي نصف قطر كل دائرة، وتقع العلامات على الأشعة نفسها: الزاوية لا تعتمد على حجم الدائرة.

لماذا يستخدم التفاضل والتكامل الراديان؟ في دائرة الوحدة، يقع المثلث ⁦OAP⁩ داخل القطاع ⁦OAP⁩، ويقع القطاع داخل المثلث ⁦OAT⁩، حيث تقع ⁦T⁩ على المماس عند ⁦A⁩. مساحاتها هي $\tfrac12\sin\theta$ و$\tfrac12\theta$ و$\tfrac12\tan\theta$؛ وبالقسمة على $\tfrac12\sin\theta$ ثم أخذ المقلوب نحصل على الحصر أعلاه. عندما $\theta \to 0$، فإن $\cos\theta \to 1$، وبالتالي $\sin\theta/\theta \to 1$. هذه النسبة دالة زوجية، لذا تكون النهاية من اليسار هي نفسها. تلك النهاية هي ميل ⁦sin⁩ عند ⁦0⁩، وهي الخطوة الأولى للوصول إلى $(\sin x)' = \cos x$.

يدخل الراديان في حساب مساحة القطاع، $\tfrac12\theta$. إذا قسنا الزاوية بالدرجات، $x^\circ$، أصبحت مساحة القطاع $(\pi/360)\,x$. عندما $x \to 0$، يعطي الحصر نفسه $\sin x^\circ/x \to \pi/180 \approx 0.017453$، لذا يكون ميل ⁦sin⁩ عند ⁦0⁩ بالدرجات هو ⁦π/180⁩، لا ⁦1⁩.