Вписанный угол

У вписанного угла $\angle APB$ вершина P лежит на окружности, а стороны проходят через две другие её точки A и B. Угол опирается на дугу от A до B, не содержащую P. Центральный угол, опирающийся на эту дугу, — угол между OA и OB с вершиной в центре O; если дуга больше полуокружности, это угол больше 180°. Теорема о вписанном угле утверждает: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Значит, все вписанные углы с вершинами на одной дуге равны, вписанный угол в полуокружности — прямой (теорема Фалеса), а противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°.

Пункт Равнобедренные треугольники показывает доказательство. OP, OA и OB — радиусы, поэтому треугольники OPA и OPB равнобедренные, с углами при основании $\alpha = \angle OPA$ и $\beta = \angle OPB$. Продлите PO до другого конца диаметра P′: внешние углы при O равны 2α и 2β. Когда O внутри угла, их сумма даёт центральный угол, а вписанный равен $\alpha + \beta$; когда O снаружи, центральный угол равен их разности, а вписанный — $|\alpha - \beta|$. При движении P углы α и β меняются, но их сумма или разность остаётся постоянной. Знак в расчёте меняется с + на − ровно в тот момент, когда P′ проходит через A или B, а O оказывается на стороне угла.

Страница вычисляет α и β по положению самой точки P и показывает ∠APB рядом с «дуга ÷ 2»: два независимо вычисленных значения всегда совпадают. Положения на окружности хранятся точно, в тысячных долях градуса, а перетаскивание или поворот колёсика сдвигает точку с шагом 0,1° (полпикселя на экране). Поэтому каждый угол со знаком «=» — точное значение в этой точке. Если P не на окружности, угол измеряется и отмечается знаком ≈, кроме положения в O, где он в точности равен центральному углу.