Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras (juga disebut teorema Gougu dalam bahasa Tionghoa) menyatakan bahwa pada segitiga dengan sudut siku-siku di $C$, kedua sisi siku-siku $a$ dan $b$ serta hipotenusa $c$ memenuhi $a^2 + b^2 = c^2$. Luas kedua persegi pada sisi siku-siku jika dijumlahkan sama dengan luas persegi pada hipotenusa. Kebalikannya juga berlaku: segitiga dengan $a^2 + b^2 = c^2$ memiliki sudut siku-siku di $C$. Halaman ini menggambar diagram Euklides (Elemen I.47) dan membiarkan $C$ menjauh dari sudut siku-siku, sehingga teorema ini menjadi aturan kosinus.

Setiap garis tinggi, diperpanjang melalui persegi pada sisi di seberangnya, membagi persegi itu menjadi dua persegi panjang. Luas persegi panjang dekat suatu titik sudut adalah hasil kali kedua sisi yang bertemu di sana dengan kosinus sudut tersebut. Dua persegi panjang dekat titik sudut yang sama, masing-masing dalam satu dari dua persegi yang bertemu di sana, memiliki luas sama: diarsir dekat $A$, bertitik dekat $B$, kuning dekat $C$. Menjumlahkan bagian ketiga persegi menghasilkan aturan kosinus. Saat sudut di $C$ siku-siku, potongan kuning hilang dan garis tinggi dari $C$ membagi persegi pada $c$ tepat menjadi $a^2$ dan $b^2$. Di luar sudut siku-siku, potongan kuning membentuk selisih, masing-masing $ab\cos C$: positif saat $C$ lancip, negatif saat tumpul. Suatu potongan bernilai negatif dan digambar di luar perseginya tepat ketika sudut pada titik sudutnya tumpul; potongan lain dalam persegi itu lalu lebih besar daripada perseginya.

Ketiga bukti menjawab tiga pertanyaan. Geseran (Euklides) memindahkan potongan $a^2$ di dekat $B$ ke persegi pada $c$: geseran miring mempertahankan alas dan tinggi, sedangkan putaran seperempat lingkaran mempertahankan bentuk dan ukuran. Jadi luas tetap pada setiap bingkai; di luar 90° hanya potongan itu yang bergerak dan yang kuning tetap di tempatnya. Pemotongan (gambar Zhao Shuang, abad ke-3) mengisi $c^2$ dengan empat salinan kongruen segitiga dan persegi bersisi $|b - a|$, $4\cdot\tfrac12 ab + (b-a)^2 = a^2 + b^2$, lalu memutar dua salinan pada titik sudut untuk mengisi $a^2$ dan $b^2$. Kesebangunan membagi segitiga sepanjang garis tingginya menjadi dua segitiga yang sebangun dengannya, pada $a$ dan $b$. Luas bangun sebangun sebanding dengan kuadrat panjang sisi, sehingga setengah lingkaran, segitiga sama sisi, atau salinan sebangun segitiga itu sendiri pada ketiga sisi dijumlahkan seperti persegi.