勾股定理

勾股定理（也叫毕达哥拉斯定理、商高定理）说：在$C$为直角的三角形里，两条直角边$a$、$b$和斜边$c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，即两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。逆定理也成立：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三角形，$C$是直角。本页画的是欧几里得《几何原本》第一卷命题47的图，并让$C$离开直角，定理就变成了余弦定理。

每条高线延长穿过对边上的正方形，把它切成两个长方形。靠近某个顶点的那块，面积是在该顶点相交的两边之积乘以该角的余弦；同一顶点旁的两块（分别在交于该顶点的两个正方形里）面积相等：$A$旁的画斜线，$B$旁的画点，$C$旁的是黄色。把三个正方形的各块加起来就是余弦定理。$C$是直角时黄块消失，从$C$作的高把$c$上的正方形恰好切成$a^2$和$b^2$。不是直角时，黄块就是差，每块面积$ab\cos C$：$C$为锐角时为正，为钝角时为负。任何一块都是在它的顶点处为钝角时才为负、画在正方形外面；这时同一个正方形里的另一块比正方形还大。

三个证明各回答一个问题。剪切（欧几里得）把$a^2$里$B$旁的那块搬进$c$上的正方形：剪切不改变底和高，转90°什么都不变，所以每一帧面积都不变；不是直角时只搬这一块，黄块留在原处。弦图（赵爽，三世纪）用四个全等的三角形和边长为$|b - a|$的小正方形拼成$c^2$，$4\cdot\tfrac12 ab + (b-a)^2 = a^2 + b^2$，再把两个三角形绕角转过去，拼成$a^2$和$b^2$。相似沿高把三角形分成两个和它相似、分别在$a$和$b$上的小三角形；相似图形的面积和边长的平方成正比，所以三边上的半圆、正三角形或者三角形自己，都和正方形一样满足这个等式。