Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras (también llamado teorema de Gougu en China) afirma que, en un triángulo con ángulo recto en $C$, los catetos $a$ y $b$ y la hipotenusa $c$ cumplen $a^2 + b^2 = c^2$: los cuadrados sobre los catetos tienen juntos el área del cuadrado sobre la hipotenusa. El recíproco también es cierto: un triángulo que cumple $a^2 + b^2 = c^2$ tiene un ángulo recto en $C$. La página dibuja la figura de Euclides (Elementos I.47) y permite que $C$ deje de ser recto, lo que lleva a la ley de los cosenos.

Cada altura, prolongada a través del cuadrado sobre el lado opuesto, lo divide en dos rectángulos. El área del rectángulo junto a un vértice es el producto de los dos lados que se encuentran allí por el coseno de ese ángulo. Los dos rectángulos junto al mismo vértice, uno en cada cuadrado que llega a él, tienen la misma área: rayados junto a $A$, punteados junto a $B$ y amarillos junto a $C$. Sumar las piezas de los tres cuadrados da la ley de los cosenos. Si el ángulo en $C$ es recto, las piezas amarillas desaparecen y la altura desde $C$ divide el cuadrado sobre $c$ exactamente en $a^2$ y $b^2$. Fuera del ángulo recto, las piezas amarillas forman la diferencia, cada una $ab\cos C$: positiva cuando $C$ es agudo y negativa cuando es obtuso. Una pieza es negativa y se dibuja fuera de su cuadrado exactamente cuando el ángulo de su vértice es obtuso; la otra pieza de ese cuadrado es entonces mayor que el cuadrado.

Las tres demostraciones responden a tres preguntas. Cizallamiento (Euclides) mueve la pieza de $a^2$ junto a $B$ al cuadrado sobre $c$: un cizallamiento conserva base y altura, y un cuarto de vuelta conserva forma y tamaño. Por tanto, cada fotograma conserva el área; fuera de 90° solo se mueve esa pieza y las amarillas se quedan. Disección (figura de Zhao Shuang, siglo III) llena $c^2$ con cuatro copias congruentes del triángulo y un cuadrado de lado $|b - a|$, $4\cdot\tfrac12 ab + (b-a)^2 = a^2 + b^2$, y gira dos copias alrededor de vértices para llenar $a^2$ y $b^2$. Semejanza divide el triángulo por su altura en dos semejantes a él, sobre $a$ y $b$. Las áreas de figuras semejantes varían con el cuadrado de un lado, por lo que los semicírculos, los triángulos equiláteros o el propio triángulo sobre los tres lados se suman igual que los cuadrados.