피타고라스 정리

피타고라스 정리(중국에서는 구고정리라고도 합니다)는 $C$가 직각인 삼각형에서 직각을 끼고 있는 두 변 $a$, $b$와 빗변 $c$가 $a^2 + b^2 = c^2$을 만족한다는 정리입니다. 두 직각변 위 정사각형 넓이의 합이 빗변 위 정사각형의 넓이와 같습니다. 역도 성립합니다. $a^2 + b^2 = c^2$을 만족하는 삼각형은 $C$가 직각입니다. 이 페이지는 유클리드의 그림(원론 I.47)을 그리고 $C$가 직각에서 벗어나게 하여 코사인 법칙으로 확장합니다.

각 꼭짓점에서 내린 높이의 선을 대변 위 정사각형까지 연장하면 두 직사각형으로 나뉩니다. 꼭짓점 옆 직사각형의 넓이는 그곳에서 만나는 두 변의 길이를 곱하고 그 각의 코사인을 곱한 값입니다. 같은 꼭짓점 옆의 두 직사각형은 각각 다른 정사각형에 속하지만 넓이가 같습니다. $A$ 옆에는 빗금, $B$ 옆에는 점, $C$ 옆에는 노란색을 사용했습니다. 세 정사각형의 조각들을 더하면 코사인 법칙이 나옵니다. $C$가 직각이면 노란 조각이 사라지고, $C$에서 내린 높이의 선이 $c$ 위 정사각형을 정확히 $a^2$과 $b^2$로 나눕니다. 직각이 아니면 노란 조각이 차이를 만들며 각각 $ab\cos C$입니다. $C$가 예각이면 양수, 둔각이면 음수입니다. 각 조각은 해당 꼭짓점의 각이 둔각일 때에만 음수가 되어 정사각형 밖에 그려집니다. 이때 그 정사각형의 다른 조각은 정사각형 전체보다 큽니다.

세 증명은 세 가지 질문에 답합니다. 전단(유클리드)은 $a^2$에서 $B$ 옆의 조각을 $c$ 위 정사각형으로 옮깁니다. 전단은 밑변과 높이를 유지하고 90° 회전은 모양과 크기를 유지하므로 모든 순간 넓이가 같습니다. 90°가 아니면 그 조각만 움직이고 노란 조각은 남습니다. 분할(조상(趙爽)의 그림, 3세기)은 합동인 삼각형 네 개와 한 변이 $|b - a|$인 정사각형으로 $c^2$을 채웁니다. $4\cdot\tfrac12 ab + (b-a)^2 = a^2 + b^2$이며, 두 삼각형을 꼭짓점을 중심으로 돌리면 $a^2$과 $b^2$을 채웁니다. 닮음은 높이를 따라 원래 삼각형과 닮은 두 삼각형으로 나누며, 각각 $a$와 $b$ 위에 놓입니다. 닮은 도형의 넓이는 변의 길이의 제곱에 비례하므로 세 변 위의 반원, 정삼각형 또는 원래 삼각형과 닮은 도형도 정사각형처럼 넓이가 더해집니다.