三平方の定理

三平方の定理（ピタゴラスの定理、中国では勾股定理とも呼ばれます）は、$C$が直角の三角形で、直角をはさむ辺$a$、$b$と斜辺$c$が$a^2 + b^2 = c^2$を満たすという定理です。つまり、直角をはさむ2辺上の正方形の面積の和は、斜辺上の正方形の面積に等しくなります。逆も成り立ち、$a^2 + b^2 = c^2$を満たす三角形では$C$が直角です。このページはユークリッドの図（原論I.47）を描き、$C$を直角から動かすことで余弦定理へと広げます。

各頂点からの高さの線を対辺上の正方形まで延ばすと、正方形は2つの長方形に分かれます。頂点の隣の長方形の面積は、その頂点で交わる2辺の長さの積に、その角の余弦を掛けた値です。同じ頂点の隣にある2つの長方形は、そこに接する別々の正方形に属しますが、面積が等しくなります。$A$の隣は斜線、$B$の隣は点、$C$の隣は黄色で示しています。3つの正方形の部品を足し合わせると余弦定理が得られます。$C$が直角なら黄色い部品は消え、$C$からの高さの線は$c$上の正方形をちょうど$a^2$と$b^2$に分けます。直角でないときは黄色い部品が差となり、各面積は$ab\cos C$です。$C$が鋭角なら正、鈍角なら負になります。部品は、その頂点の角が鈍角のときに限って負となり、正方形の外側に描かれます。このとき同じ正方形のもう一方の部品は、正方形全体より大きくなります。

3つの証明は3つの問いに答えます。せん断（ユークリッド）は、$a^2$の中で$B$に隣接する部品を$c$上の正方形へ移します。せん断は底辺と高さを保ち、90°の回転は形と大きさを保つので、どの瞬間も面積は変わりません。90°でないときはその部品だけが動き、黄色い部品は残ります。分割・移動（趙爽の図、3世紀）では、合同な三角形4つと一辺$|b - a|$の正方形で$c^2$を埋め、$4\cdot\tfrac12 ab + (b-a)^2 = a^2 + b^2$となります。2つの三角形を頂点の周りに回すと、$a^2$と$b^2$を埋められます。相似では、高さの線に沿って元の三角形と相似な2つの三角形に分け、それぞれ$a$と$b$上に置きます。相似な図形の面積は辺の長さの2乗に比例するので、3辺上の半円、正三角形、元の三角形の相似形でも、正方形と同じ面積の加法関係が成り立ちます。