Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora (in Cina chiamato anche teorema di Gougu) afferma che, in un triangolo rettangolo in $C$, i cateti $a$ e $b$ e l’ipotenusa $c$ soddisfano $a^2 + b^2 = c^2$: i quadrati sui cateti hanno insieme l’area del quadrato sull’ipotenusa. Vale anche il viceversa: un triangolo con $a^2 + b^2 = c^2$ ha un angolo retto in $C$. La pagina disegna la figura di Euclide (Elementi I.47) e lascia che $C$ si allontani dall’angolo retto, portando al teorema del coseno.

Ogni altezza, prolungata attraverso il quadrato sul lato opposto, lo divide in due rettangoli. Il rettangolo vicino a un vertice ha area pari al prodotto dei due lati che vi si incontrano per il coseno dell’angolo in quel vertice. I due rettangoli vicini allo stesso vertice, uno in ciascuno dei quadrati che vi si incontrano, hanno la stessa area: a righe vicino ad $A$, a punti vicino a $B$, gialli vicino a $C$. Sommando i pezzi dei tre quadrati si ottiene il teorema del coseno. Se l’angolo in $C$ è retto, i pezzi gialli scompaiono e l’altezza da $C$ divide il quadrato su $c$ esattamente in $a^2$ e $b^2$. Fuori dall’angolo retto, i pezzi gialli costituiscono la differenza, ciascuno pari a $ab\cos C$: positivo se $C$ è acuto, negativo se è ottuso. Un pezzo è negativo e disegnato fuori dal suo quadrato esattamente quando l’angolo al suo vertice è ottuso; l’altro pezzo di quel quadrato è allora più grande del quadrato.

Le tre dimostrazioni rispondono a tre domande. Scorrimento (Euclide) sposta il pezzo di $a^2$ vicino a $B$ nel quadrato su $c$: lo scorrimento conserva base e altezza, un quarto di giro conserva forma e dimensioni. Ogni fotogramma conserva quindi l’area; fuori da 90° si sposta solo quel pezzo e quelli gialli restano. Dissezione (figura di Zhao Shuang, III secolo) riempie $c^2$ con quattro copie congruenti del triangolo e un quadrato di lato $|b - a|$, $4\cdot\tfrac12 ab + (b-a)^2 = a^2 + b^2$, poi ruota due copie intorno ai vertici per riempire $a^2$ e $b^2$. Similitudine divide il triangolo lungo l’altezza in due triangoli simili a esso, su $a$ e $b$. Le aree di figure simili variano con il quadrato di un lato: semicerchi, triangoli equilateri o il triangolo stesso sui tre lati si sommano dunque come i quadrati.