Secção cónica: visualização interativa

As secções cónicas nesta visualização

Uma secção cónica (ou cónica) é a curva em que um plano intersecta um cone duplo: duas folhas unidas pelas pontas, no vértice, em torno de um mesmo eixo, prolongando-se indefinidamente nos dois sentidos. O semiângulo $\alpha$ do cone é o ângulo entre o eixo e as suas geratrizes; o plano faz um ângulo $\beta$ com o eixo (de $0^\circ$ , paralelo ao eixo, a $90^\circ$ , perpendicular a ele) e fica a uma distância $d$ do vértice. Cada secção é uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole; se o plano passar pelo vértice, é um ponto, uma reta ou duas retas.

Um número determina o tipo de curva

e = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha} \qquad \beta > \alpha:\ e < 1 \qquad \beta = \alpha:\ e = 1 \qquad \beta < \alpha:\ e > 1

Rode o plano a partir de $90^\circ$ , diminuindo o ângulo. A circunferência ( $e = 0$ ) torna-se uma elipse cada vez mais comprida; quando o plano fica paralelo a uma geratriz do cone ( $\beta = \alpha$ ), a extremidade distante vai para o infinito e a curva é uma parábola; rode um pouco mais e o plano alcança também a outra folha do cone, onde surge do infinito um segundo ramo: uma hipérbole. A janela Forma verdadeira mostra a secção de frente, a uma escala fixa, mantendo imóvel a extremidade próxima, o ponto mais perto do vértice, para que se veja a extremidade distante sair da janela. O tipo de curva é determinado pelos ângulos exatamente como foram introduzidos: $\beta = 30.01^\circ$ com $\alpha = 30^\circ$ dá uma elipse com $e \approx 0.9999$ , não uma parábola.

De onde vêm os focos

As esferas de Dandelin ficam dentro do cone; cada uma toca o cone ao longo de uma circunferência e o plano num ponto: esses pontos são os focos $F_1$ e $F_2$ . A partir de um ponto $P$ da curva, todos os segmentos tangentes à mesma esfera têm o mesmo comprimento. Assim, $PF_1$ é igual à distância ao longo da geratriz que passa por $P$ até à primeira circunferência de tangência, e $PF_2$ à distância até à segunda.
Numa elipse, as duas esferas estão na mesma folha do cone e $P$ fica entre as circunferências. Por isso, $PF_1 + PF_2$ é o comprimento da geratriz entre elas, igual para qualquer $P$ : $2a$ . Numa hipérbole, as esferas estão em folhas opostas do cone e $|PF_1 - PF_2| = 2a$ . Numa parábola, só cabe uma esfera.
Uma diretriz é a reta em que o plano de corte intersecta o plano de uma circunferência de tangência. As distâncias de $P$ ao foco e à diretriz mantêm a mesma razão, $PF_1 / PD_1 = e$ ; na parábola, são iguais. A circunferência não tem diretriz: os dois planos são paralelos.

Cuidados na interpretação

Na vista 3D, a perspetiva faz uma circunferência parecer uma elipse; a janela da forma verdadeira, ou Ver a secção de frente, mostra a forma real. A escala da janela nunca muda por si: os números por baixo indicam onde fica a extremidade distante ou o outro ramo.
O cone só é desenhado perto do vértice e esbate-se nas extremidades; prolonga-se indefinidamente. Uma elipse comprida continua fechada, por mais distante que esteja a sua extremidade, e uma parábola não é meia elipse: não tem extremidade distante.
O tipo de curva e a relação entre $\beta$ e $\alpha$ são exatos; $e$ , os comprimentos e as distâncias são calculados e assinalados com ≈. O vidro, as linhas ténues e o esbatimento são apenas recursos visuais.

Controlos

Altere $\beta$ com o botão rotativo ou arraste a pega azul no plano; o movimento encaixa em $\alpha$ e $90^\circ$ . A roda desloca o plano; $d = 0$ fá-lo passar pelo vértice. Os ângulos podem ser introduzidos em graus ou como múltiplos de π. Com as esferas ou as diretrizes visíveis, arraste $P$ ao longo da curva. O Modo de apresentação abre uma vista de ecrã inteiro: ← → rodam o plano, ↑ ↓ deslocam-no.

Relacionados

Para saber mais: Wikipédia: Conic section (Inglês); Wikipédia: Dandelin spheres (Inglês); OpenStax, Precalculus 2e, 10.5 Conic Sections in Polar Coordinates (Inglês).