Função quadrática: visualização interativa

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Funções quadráticas nesta visualização

Uma função quadrática é uma função $f(x) = ax^2 + bx + c$ , com $a \ne 0$ . O seu gráfico é uma parábola, com concavidade para cima quando $a > 0$ e para baixo quando $a < 0$ . Esta página escreve a mesma função em três formas equivalentes: o seletor de modo no topo do painel escolhe a que ajusta, e as três mantêm-se sincronizadas ao arrastar o gráfico ou rodar os controlos.

Forma geral · canónica · fatorizada

y = ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k = a(x - x_1)(x - x_2)

Cada forma revela uma característica do gráfico. Na forma geral, $c$ dá a interseção com o eixo y: o gráfico cruza esse eixo no ponto vazio $(0, c)$ ; o ponto simétrico $(2h, c)$ mostra a simetria. A forma canónica mostra o vértice $(h, k)$ e o eixo de simetria $x = h$ . A forma fatorizada mostra as raízes, onde o gráfico encontra o eixo x; sobre os números reais, só existe quando o discriminante não é negativo.

Vértice e raízes a partir de a, b, c

h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a},\qquad \Delta = b^2 - 4ac,\quad r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Completar o quadrado: da forma geral à canónica

\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{aligned}

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O que observar

Completar o quadrado corresponde a uma translação: os três passos acima transformam a forma geral na canónica, e $a(x - h)^2 + k$ é $y = ax^2$ deslocada de $h$ ao longo do eixo x e de $k$ para cima ou para baixo. Rodar $h$ ou $k$ na forma canónica, ou arrastar o vértice, desenha $y = ax^2$ e os dois deslocamentos.
$\Delta > 0$ : duas raízes reais; $\Delta = 0$ : uma raiz dupla, com o vértice no eixo; $\Delta < 0$ : sem raízes reais — a equação $ax^2 + bx + c = 0$ tem então duas raízes complexas conjugadas, que não são pontos deste gráfico.
$a$ é o mesmo número nas três formas: define a largura da parábola e o sentido da concavidade. Rodar apenas $b$ não desloca o gráfico simplesmente na horizontal; o vértice percorre a parábola $y = c - ax^2$ . Rodar apenas $a$ mantém algo diferente em cada forma: na geral, $(0, c)$ e a tangente $y = bx + c$ nesse ponto mantêm-se fixos — todas as parábolas são tangentes a essa reta nesse ponto —, e o vértice percorre a reta $y = c + \tfrac{b}{2}x$ ; na canónica, o vértice mantém-se; na fatorizada, as raízes mantêm-se e o vértice percorre o eixo de simetria.
A página calcula com frações exatas, pelo que as formas mostram decimais, frações ou raízes quadradas exatos. Um número demasiado comprido para apresentar é arredondado, e a equação passa a usar ≈. Os dois eixos partilham a mesma escala, exceto na vista em destaque da bola lançada; uma nota no gráfico avisa sempre que as escalas diferem.

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Controlos

O seletor de modo escolhe a forma que ajusta: a geral define $a$ , $b$ e $c$ (botões rotativos); a canónica, $a$ e o vértice $(h, k)$ ; a fatorizada, $a$ e as duas raízes (seletores de ajuste fino). Sem raízes reais, a posição fatorizada fica bloqueada. Abra Detalhes da conversão para ver os valores das outras duas formas com as fórmulas habituais.
Agarrar um ponto no gráfico muda para a respetiva forma. Arraste o vértice para mover a parábola, uma raiz ao longo do eixo x ( $a$ e a outra raiz mantêm-se; se a outra raiz for irracional, é primeiro escrita com seis casas decimais, uma alteração impercetível; uma raiz dupla move toda a parábola na horizontal), ou a interseção com o eixo y ao longo desse eixo (só $c$ muda); arraste noutro local para mover a vista. Clique num número para o introduzir, como decimal ou como fração, por exemplo 3/4.
O modo de apresentação abre uma vista em ecrã inteiro para projetores (as setas movem a parábola; H oculta as respostas: só permanecem os números da forma que está a ajustar; as outras duas formas e as conversões mostram pontos de interrogação).

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Relacionados

Para saber mais: Wikipédia: Quadratic function (Inglês); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 5.1 Quadratic Functions (Inglês).