Квадратичная функция: интерактивная визуализация

01

Квадратичные функции в этой визуализации

Квадратичная функция — функция $f(x) = ax^2 + bx + c$ при $a \ne 0$ . Её график — парабола, с ветвями вверх при $a > 0$ и вниз при $a < 0$ . Здесь одна квадратичная функция записана в трёх равносильных формах: переключатель вверху панели выбирает, какую вы меняете, а все три согласованно обновляются при перетаскивании графика или изменении параметров.

Стандартная · вершинная · разложение

y = ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k = a(x - x_1)(x - x_2)

Каждая форма показывает свойство графика. В стандартной форме $c$ задаёт пересечение с осью y: график пересекает её в полой точке $(0, c)$ ; зеркальная точка $(2h, c)$ показывает симметрию. Вершинная форма показывает вершину $(h, k)$ и ось симметрии $x = h$ . Разложение показывает корни, где график встречает ось x; над действительными числами оно существует только при неотрицательном дискриминанте.

Вершина и корни через a, b, c

h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a},\qquad \Delta = b^2 - 4ac,\quad r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Выделение полного квадрата: от стандартной к вершинной форме

\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{aligned}

02

На что обратить внимание

Выделение полного квадрата — параллельный перенос: три шага выше превращают стандартную форму в вершинную, а $a(x - h)^2 + k$ — это $y = ax^2$ , сдвинутая на $h$ вдоль оси x и на $k$ вверх или вниз. Изменение $h$ или $k$ в вершинной форме либо перетаскивание вершины показывает $y = ax^2$ и два перемещения.
$\Delta > 0$ : два действительных корня; $\Delta = 0$ : один двойной корень, вершина на оси; $\Delta < 0$ : нет действительных корней — уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ тогда имеет два комплексно-сопряжённых корня, не являющихся точками этого графика.
$a$ — одно число во всех трёх формах: оно задаёт ширину параболы и направление ветвей. Изменение только $b$ не сдвигает график горизонтально; вершина идёт по параболе $y = c - ax^2$ . Изменение только $a$ фиксирует разное в каждой форме: в стандартной форме $(0, c)$ и касательная $y = bx + c$ в этой точке остаются на месте — каждая парабола касается этой прямой там, — а вершина движется по прямой $y = c + \tfrac{b}{2}x$ ; в вершинной форме неподвижна вершина; в разложении неподвижны корни, а вершина идёт по оси симметрии.
Страница вычисляет с точными дробями, поэтому формы показывают точные десятичные и обыкновенные дроби или квадратные корни. Слишком длинное число округляется, и равенство записывается с ≈. Масштабы осей одинаковы, кроме примера с брошенным мячом; всякий раз при их различии на графике есть заметка.

03

Управление

Переключатель выбирает изменяемую форму: стандартная задаёт $a$ , $b$ и $c$ (ручки), вершинная — $a$ и вершину $(h, k)$ , разложение — $a$ и два корня (колёса для малых шагов); без действительных корней положение разложения недоступно. Откройте Подробности преобразования, чтобы увидеть значения двух других форм и учебные формулы.
Захват точки на графике переключает на её форму. Перетащите вершину, чтобы переместить параболу, корень вдоль оси x ( $a$ и другой корень остаются; иррациональный другой корень сначала округляется до шести знаков после запятой — незаметное изменение; двойной корень сдвигает всю параболу горизонтально) или пересечение с осью y вдоль этой оси (меняется только $c$ ); в другом месте перетаскивание сдвигает вид. Нажмите на любое число для ввода десятичной или обыкновенной дроби, например 3/4.
Режим презентации открывает полноэкранный вид для проектора (стрелки перемещают параболу; H скрывает ответы: остаются только числа изменяемой формы, а в двух других формах и преобразованиях стоят вопросы).

04

Связанные темы

Дополнительные материалы: Википедия: Quadratic function (Английский); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 5.1 Quadratic Functions (Английский).