Fungsi Kuadrat: Visualisasi Interaktif

01

Fungsi kuadrat dalam visualisasi ini

Fungsi kuadrat adalah fungsi $f(x) = ax^2 + bx + c$ dengan $a \ne 0$ . Grafiknya berupa parabola, terbuka ke atas saat $a > 0$ dan ke bawah saat $a < 0$ . Halaman ini menulis satu fungsi kuadrat dalam tiga bentuk setara: dial mode di bagian atas panel memilih bentuk yang Anda atur, dan ketiganya tetap selaras saat Anda menyeret grafik atau memutar kontrol.

Bentuk baku · puncak · faktor

y = ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k = a(x - x_1)(x - x_2)

Setiap bentuk menunjukkan satu ciri grafik. Dalam bentuk baku, $c$ memberi titik potong y: grafik memotong sumbu y pada titik berongga $(0, c)$ ; bayangan cerminnya $(2h, c)$ menunjukkan simetri. Bentuk puncak menunjukkan puncak $(h, k)$ dan sumbu simetri $x = h$ . Bentuk faktor menunjukkan akar, tempat grafik bertemu sumbu x; dalam bilangan real, bentuk ini hanya ada jika diskriminan tidak negatif.

Puncak dan akar dari a, b, c

h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a},\qquad \Delta = b^2 - 4ac,\quad r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Melengkapkan kuadrat: dari bentuk baku ke puncak

\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{aligned}

02

Hal yang perlu diperhatikan

Melengkapkan kuadrat adalah translasi: tiga langkah di atas mengubah bentuk baku menjadi bentuk puncak, dan $a(x - h)^2 + k$ adalah $y = ax^2$ yang digeser $h$ sepanjang sumbu x serta $k$ ke atas atau bawah. Memutar $h$ atau $k$ dalam bentuk puncak, atau menyeret puncak, menggambar $y = ax^2$ dan kedua pergeserannya.
$\Delta > 0$ : dua akar real; $\Delta = 0$ : satu akar kembar, puncak pada sumbu; $\Delta < 0$ : tanpa akar real — persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ lalu memiliki dua akar kompleks konjugat, yang bukan titik pada grafik ini.
$a$ adalah angka yang sama dalam ketiga bentuk: menentukan lebar parabola dan arah bukaannya. Memutar $b$ saja tidak menggeser grafik ke samping; puncak mengikuti parabola $y = c - ax^2$ . Memutar $a$ saja mempertahankan hal berbeda pada tiap bentuk: dalam bentuk baku, $(0, c)$ dan garis singgung $y = bx + c$ di sana tetap — setiap parabola menyinggung garis itu pada titik tersebut — dan puncak mengikuti garis $y = c + \tfrac{b}{2}x$ ; dalam bentuk puncak, puncak tetap; dalam bentuk faktor, akar tetap dan puncak bergerak sepanjang sumbu simetri.
Halaman ini menghitung dengan pecahan eksak, sehingga bentuknya menampilkan desimal, pecahan, atau akar kuadrat eksak. Angka yang terlalu panjang untuk ditampilkan dibulatkan, lalu persamaannya ditulis dengan ≈. Kedua sumbu memakai skala sama, kecuali pada sorotan bola dilempar; catatan pada grafik menyatakannya saat berbeda.

03

Kontrol

Dial mode memilih bentuk yang Anda atur: bentuk baku mengatur $a$ , $b$ , dan $c$ (kenop), bentuk puncak $a$ dan puncak $(h, k)$ , bentuk faktor $a$ dan kedua akar (roda untuk langkah halus); jika tanpa akar real, posisi faktor tidak tersedia. Buka Detail konversi untuk melihat angka dua bentuk lainnya beserta rumus buku teks.
Memegang titik pada grafik beralih ke bentuknya. Seret puncak untuk menggeser parabola, akar sepanjang sumbu x ( $a$ dan akar lain tetap; akar lain yang irasional terlebih dahulu ditulis hingga enam angka desimal, perubahan terlalu kecil untuk terlihat; akar kembar menggeser seluruh parabola ke samping), atau titik potong y sepanjang sumbu y (hanya $c$ berubah); seret di tempat lain untuk menggeser tampilan. Klik angka apa pun untuk mengetiknya, sebagai desimal atau pecahan seperti 3/4.
Mode presentasi membuka tampilan layar penuh untuk proyektor (tombol panah menggeser parabola; H menyembunyikan jawaban: hanya angka bentuk yang Anda atur tetap terlihat, dua bentuk lain dan konversi menampilkan tanda tanya).

04

Terkait

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Quadratic function (Bahasa Inggris); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 5.1 Quadratic Functions (Bahasa Inggris).