Math

Diferansiyel ve integral hesap · Eğim alanı

Eğim alanı

Eğim alanı düzlemin her noktasında diferansiyel denklemin öngördüğü y′ = f(x, y) eğiminde kısa parça çizer; her çözüm bu parçaları izleyen eğridir. Başlangıcı sürükleyip tüm çözümün hareketini izleyin, sonra Euler yöntemini eğimler boyunca adımlatın.

01

Bu görselleştirmede eğim alanları

Birinci dereceden y′=f(x,y)y' = f(x, y) diferansiyel denklemi düzlemin her noktasında eğim belirler. Eğim alanı (yön alanı da denir), kafesin her noktasında bu eğimi kısa parça olarak çizer. Çözüm, grafiği her yerde parçalara teğet olan türevlenebilir y(x)y(x) fonksiyonudur. Başlangıç değer problemi, verilen P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) noktasından geçeni ister. f sürekli ve y'de yerel Lipschitz ise x'in bir aralığında her noktadan tam bir çözüm geçer; böylece yalnızca eğimler her çözümü belirler.

P'yi sürükleyin; içinden geçen tüm eğri sürekli hareket eder (çözümün var olduğu her kapalı aralıkta). Sekiz hazır denklemde eğriler kapalı biçimli çözümlerdir; yazdığınız denklemde uyarlamalı Runge–Kutta yöntemiyle sayısal hesaplanır (Dormand–Prince 5(4), bağıl tolerans 10−810^{-8}). y′ yalnızca x'e bağlıysa çözümler sabit kadar farklıdır: +C+C düşey ötelemedir. Yalnızca y'ye bağlıysa f'nin sıfırları yatay denge çözümleridir; komşu iki denge arasındaki çözümler birbirinin yatay ötelenmiş halidir.

Euler yöntemi, adım h
yk+1=yk+h f(xk,yk),xk+1=xk+hy_{k+1} = y_k + h\, f(x_k, y_k), \qquad x_{k+1} = x_k + h

Euler yöntemi mevcut noktadaki eğimi h uzunluğunda bir adım izler, sonra yeniden okur. Burada P'den X sonuna ilerler (son adım X'e varmak için kısaltılır). Düzgün çözümde X'teki hata kabaca h ile orantılıdır: kırmızı tuş h'yi düzey düzey yarılar; her yarılama hatayı yaklaşık yarılar, ardışık hataların oranı 2'ye yaklaşır.

02

Dikkat edilecekler

  • Parçalar eşit uzunluktadır, ok uçları yoktur: yalnızca eğimleri anlamlıdır. Eğim alanı, her okun uzunluğu atılmış (1,f)(1, f) vektör alanıdır.
  • Çözümün her x için var olması gerekmez. y′=y2y' = y^2 için (0, 1)'den geçen çözüm 1/(1−x)1/(1-x) olur; x, 1'e yaklaşırken sınırsız büyür. Sayfa kesikli doğruda durdurur ve diğer dala hiç birleştirmez. y′=−x/yy' = -x/y için (0, 2)'den geçen çözüm, eğimin dikeyleştiği yerde biten yarım çemberdir. Euler böyle noktaların ötesinde yine sayı döndürür; çözümün değeri o zaman yok olarak işaretlenir.
  • Lipschitz koşulu olmadan çözüm tek olmak zorunda değildir: y=0y = 0 ve y=x3y = x^3, (0, 0)'dan geçen y′=3y2/3y' = 3y^{2/3} denklemini çözer; bir süre y = 0'da bekleyip sonra ayrılan her eğri de çözer. (0, 0)'dan Euler yöntemi her adım boyutunda 0'da kalır.
  • Eş eğim eğrileri eğimin sabit f(x,y)=cf(x, y) = c olduğu eğrilerdir; her birinde parçalar paraleldir, eğim alanları elle böyle çizilir. h = π/n ile y′=cos⁡xy' = \cos x üzerinde (0, 0)'dan π'ye Euler tam h döndürür.
03

Kontroller

  • Başka çözüm eklemek için boşluğa tıklayın (en fazla altı); son dokunduğunuz, Euler'in başladığı P'dir. Kaydır açıkken sürüklemek bunun yerine görseli taşır.
  • Euler sonu X'i taşımak için x eksenindeki ▲ işaretini sürükleyin veya çarkını çevirin. Kırmızı tuş mevcut h'den başlar; sonda h = 1'den yeniden başlar. Yaklaşma kaydı penceresi kapalıyken bile her düzeyin değerini, hatasını ve oranını toplar.
04

İlgili konular

y′=yy' = y için (0, 1)'den 1'e Euler yöntemi, bileşik faiz çarpanı (1+h)1/h(1 + h)^{1/h} verir. İki denklemli sistem faz portresi olarak çizilir.

Ek okumalar: Vikipedi: Slope field (İngilizce); OpenStax, Calculus Volume 2, 4.2 Direction Fields and Numerical Methods (İngilizce).