Math

Çok Değişkenli Analiz · Vektör alanı

Vektör alanı

Vektör alanı, tanım kümesinin her noktasına F(x, y) = (P, Q) oku atar; hız olarak okunduğunda her şeyi taşır. Mürekkep damlatıp damlaların ilerlemesini, dönmesini, kaykılmasını ve uzamasını izleyin.

01

Bu görselleştirmede vektör alanları

Düzlemsel vektör alanı, tanım kümesinin her (x,y)(x, y) noktasına F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y))\mathbf F(x, y) = (P(x, y),\ Q(x, y)) vektörünü atar. Hız alanı olarak okunduğunda her noktayı hareket ettirir: parçacık aşağıdaki özerk sisteme uyar ve yolu alanın integral eğrisidir (akım çizgisi veya akış çizgisi). Sayfa alanı çizer, mürekkebi ve parçacıkları taşır, sondayı koyduğunuz yerde F'yi hesaplar.

Alandaki parçacık
x′(t)=P(x,y),y′(t)=Q(x,y)x'(t) = P(x, y), \qquad y'(t) = Q(x, y)

Ok yalnızca o andaki hızdır; parçacık düz ok boyunca değil, her yerde oklara teğet eğri boyunca taşınır. (−y,x)(-y, x) dönme alanında (1, 0)'daki ok dik yukarı bakar, ancak damlanın merkezi birim çemberi dolaşır. Kafes okları görsel altında yazan tek ölçeği paylaşır (bazı uzunlar kısaltılıp çizik taşır). Sonda oku gerçek uzunlukta F(P)'dir; P ve Q bileşenleri kesiklidir.

Küçük mürekkep damlası alanın bir nokta yakınındaki yapısını gösterir. Birinci mertebede merkezindeki F ile taşınır, alanın türev matrisiyle deforme olur: alanı div⁡F\operatorname{div}\mathbf F bağıl hızıyla büyür (sonlu damlada üzerindeki ortalama diverjans); sonsuz küçük çizgi elemanları ortalamada 12curl⁡F\tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F hızında döner. Geriye kalan, iki sayının da tanımlamadığı kaykılma ve germedir. İki çap bunu gösterir: kaykılma alanında biri t = 1'de 45° eğilir, diğeri yatay kalır.

02

Dikkat edilecekler

  • Arka plan parçacıkları rastgele yerlerde yeniden doğar; sıklaşmaları anlam taşımaz. Genişlemeyi görmek için damlanın alanını izleyin (diverjans, E25). Kısa kuyrukları solar, akım çizgisi değildir; onların ayrı tuşu vardır.
  • Her damla konduğunda t = 0'dan başlar; okuma en son damlayı izler. İleri t'yi artırır, geri azaltır; ikisi de 0'ı geçebilir. Her yönde akarken mürekkep damlatabilirsiniz. Negatif zaman aynı alanı başlangıç çemberinden geriye izler; kayıtlı geçmiş gerektirmez. Beş doğrusal örnek matris üstelini, sarkaç ve yazılan alanlar hata kontrollü sayısal integrasyonu kullanır. Tersine dönebilirlik, tüm süre boyunca var olan tek çözümler gerektirir; durmuş noktalar geri getirilemez.
  • Damlalar hesaplanan bölgeden çıktıklarında, alan sonsuza gittiğinde veya değer almadığında durur. Sınır çizgisi orada kesilir, dolgu kaybolur. Buradaki alanlar iki boyutludur, zamanla değişmez.
03

Kontroller

  • Mürekkep damlatmak için görsele tıklayın; damla dizisi için sürükleyin (en fazla üç). Kaydır açıkken sürüklemek görünümü taşır. P'yi sürükleyin veya koordinatlarını yazın (−100 ile 100); ok kafesine tutunur. P ve Q'yu + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt … ile yazın.
  • Sunum modu, projektörler için tam ekran görünümü açar: Boşluk akışı çalıştırıp durdurur, → ve ← yönünü belirler, H sondadaki F değerini gizler. Paylaş, alanı, sondayı ve mürekkebi kendi zamanlarında açan bağlantıyı kopyalar.
04

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Vector field (İngilizce); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.1 Vector Fields (İngilizce).