Eş yükselti haritası

Bir $f(x, y)$ fonksiyonunun seviye eğrisi, $f$ değerinin aynı $c$ değerini aldığı noktalar kümesidir. $z = f(x, y)$ yüzeyinde bunlar $c$ yüksekliğindeki noktalardır. Eş yükselti haritası, topografik haritanın tepeleri göstermesi gibi, eşit yükseklik farklarına karşılık gelen seviye eğrilerini zemine çizer.

Yüzey, kare bir haritanın üzerinde cam gibi çizilir; üç eksenin ölçeği aynıdır ve eş yükselti haritası alttaki zemindedir. Suyu $c$ yüksekliğine çıkardığınızda $c$ seviyesinden alçak her nokta su altında kalır. Hem yüzeyde hem haritada mavi çizilen kıyı, $f = c$ seviye eğrisidir; yani eş yükselti haritası bir dizi kıyı çizgisidir. Burada su, bir yükseklik eşiğini gösterir; sel akışını canlandırmaz. Diğer sulardan uzak bir çukur bile dibi $c$ altında kaldığı anda göldür.

$c$ yükselirken kıyı çoğu zaman yalnızca yer ve biçim değiştirir. Haritanın içinde bağlantıları yalnızca $\nabla f = 0$ olan kritik noktaların yüksekliklerinde ve gradyanın hiç olmadığı koni ucunda değişir. Çukurun dibinin hemen üstünde bir göl oluşur. Geçitte, yani eyer noktasında, iki kıyı birleşir veya bir ada ikiye ayrılır. Zirvede ada bir noktaya küçülüp kaybolur. Görünümün yanındaki cetvel bu yükseklikleri işaretler.

Harita daha geniş bir arazinin penceresidir; bu yüzden sayfa yalnızca bütünüyle içinde kalan göl ve adaları sayar. Kenara ulaşan su açık deniz, kenara ulaşan kara ana karadır. Dolayısıyla sayılar kıyı harita kenarına değdiğinde de değişebilir. Cetvel bu yükseklikleri simgesiz, kesikli bir işaretle gösterir.

Eyer noktasından geçen bir seviye eğrisi orada kendini keser. $f = \tfrac14(x^2 - y^2)$ eyerinde $f = 0$ seviye eğrisi, $y = \pm x$ doğru çiftidir. 0’ın altında su iki vadidedir; 0’da kıyıları eyer noktasında değer; 0’ın üstünde su tek parça olur. Farklı yükseklikteki eğriler hiç buluşmaz, çünkü bir noktanın yalnızca bir yüksekliği vardır.

Komşu eğriler arasındaki yükseklik farkı $\Delta c$ olduğundan, eğrilerin yakın olduğu yerde arazi kısa mesafede $\Delta c$ yükselir. $\nabla f \ne 0$ olduğunda ve komşu eğriler yakınken eğrilere dik ölçülen aralık yaklaşık olarak

Profil penceresi, A’dan B’ye rota boyunca yüksekliği iki eksende aynı ölçekte çizer. Rotanın kestiği her eş yükselti eğrisinde bir işaret, en dik noktada sarı vurgu vardır. Rotanın sürekli çıktığı veya indiği bölümde daha yakın işaretler, daha dik profil demektir.

Eğriler tek başlarına hangi tarafın yüksek olduğunu söylemez. $f = 2x\,e^{-(x^2 + y^2)/2}$ üzerinde $(1, 0)$ ve $(-1, 0)$ çevresindeki halkalar aynı biçimdedir; ama biri tepe, diğeri çukurdur. Haritada yükseklik değerleri veya su gibi başka bir ipucu gerekir.