Mapa de curvas de nível

Uma curva de nível de uma função $f(x, y)$ é o conjunto dos pontos onde $f$ toma um mesmo valor $c$. Na superfície $z = f(x, y)$, são os pontos à altura $c$. Um mapa de curvas de nível desenha no chão as curvas correspondentes a alturas igualmente espaçadas, como um mapa topográfico representa as colinas.

A superfície é representada em vidro sobre um mapa quadrado, com a mesma escala nos três eixos, e o seu mapa de curvas de nível fica no chão. Sobe a água até à altura $c$ e todos os pontos abaixo de $c$ ficam submersos. A margem, desenhada a azul na superfície e no mapa, é a curva de nível $f = c$; um mapa de curvas de nível é, assim, uma pilha de margens. A água representa um limiar, não uma inundação: uma depressão afastada de qualquer outra massa de água já é um lago assim que o seu fundo fica abaixo de $c$.

À medida que $c$ sobe, a margem limita-se, na maior parte do tempo, a deslocar-se e a mudar de forma. Dentro do mapa, as suas ligações só mudam às alturas dos pontos críticos, onde $\nabla f = 0$, e na ponta do cone, onde o gradiente não existe. Logo acima do fundo de uma depressão aparece um lago. Numa passagem, ou ponto de sela, duas margens encontram-se ou uma ilha divide-se em duas. Num cume, uma ilha reduz-se a um ponto e desaparece. A régua junto à vista assinala estas alturas.

O mapa é uma janela para uma paisagem maior, pelo que a página só conta lagos e ilhas inteiramente no seu interior. A água que chega ao limite é mar aberto, e a terra que lá chega é terra firme. Por isso, as contagens também podem mudar onde a margem encontra o limite. A régua assinala essas alturas com um traço interrompido e sem símbolo.

Uma curva de nível que passa por um ponto de sela cruza-se consigo própria nesse ponto. Na sela $f = \tfrac14(x^2 - y^2)$, a curva de nível $f = 0$ é o par de retas $y = \pm x$. Abaixo de 0, a água ocupa dois vales; em 0, as margens tocam-se no ponto de sela; acima de 0, forma uma única massa. Curvas de alturas diferentes nunca se encontram, porque cada ponto tem uma só altura.

A diferença de altura entre curvas vizinhas é $\Delta c$, por isso, onde estão próximas, o terreno sobe $\Delta c$ numa curta distância. Onde $\nabla f \ne 0$ e as curvas vizinhas estão próximas, o intervalo medido perpendicularmente às curvas é aproximadamente

A janela Perfil desenha a altura ao longo de um percurso de A a B com a mesma escala nos dois eixos, uma marca em cada curva de nível atravessada e o ponto mais íngreme a amarelo. Num troço em que o percurso continua sempre a subir ou a descer, marcas mais próximas indicam um perfil mais íngreme.

As linhas, por si só, não dizem para que lado se sobe. Em $f = 2x\,e^{-(x^2 + y^2)/2}$, os anéis em torno de $(1, 0)$ e $(-1, 0)$ têm a mesma forma, mas um rodeia uma colina e o outro uma depressão. Um mapa precisa de ter as alturas escritas ou de outra pista, como a água.