等高线图

函数$f(x, y)$的等高线，是$f$取同一个值$c$的所有点；在曲面$z = f(x, y)$上，就是高度为$c$的那些点。等高线图把等间隔的一组高度的等高线画在地面上，就像地形图画山那样。

曲面画成玻璃，悬在一块正方形地图上方，三条轴的比例相同，它的等高线图铺在下面的地面上。把水涨到高度$c$，比$c$低的点都在水下。岸线在曲面和地图上都画成蓝色，它就是等高线$f = c$，所以等高线图就是一层层岸线叠在一起。这里的水是一道门槛，不是洪水：一个离别处的水很远的洼地，只要坑底低于$c$，就已经是一个湖。

$c$往上涨时，岸线大多只是移动、变形。在地图内部，它只在临界点的高度上改变连接方式，临界点就是$\nabla f = 0$的点；另外还有圆锥的尖点，那里根本没有梯度。水位刚过坑底，坑里出现一个湖。到了山口，也就是鞍点，两条岸线相碰，或者一座岛分成两座。到了山顶，一座岛缩成一点后消失。画面旁的水位尺标出了这些高度。

地图只是更大地形的一扇窗，所以本页只数留在地图里面的湖和岛。碰到边缘的水是外海，碰到边缘的陆地是大陆。因此岸线碰到地图边缘时，个数也可能变。水位尺用不带符号的虚线短刻度标出这些高度。

过鞍点的等高线会在鞍点处和自己交叉。在鞍面$f = \tfrac14(x^2 - y^2)$上，等高线$f = 0$是一对直线$y = \pm x$。水位低于0时，水分在两条山谷里；正好是0时，两条岸线在鞍点相碰；高于0时，水连成一片。不同高度的等高线永远不会相交，因为一个点只有一个高度。

相邻两条等高线的高度差是$\Delta c$，线靠得近的地方，地面在很短的距离里就升高了$\Delta c$。在$\nabla f \ne 0$且相邻等高线靠得很近的地方，垂直于等高线量，两条线的间距约为

“剖面”小窗按两轴相同的比例，画出从A到B的路线上的高度：路线每穿过一条等高线就有一个刻度，最陡的点标成黄色。在路线一直上坡或一直下坡的一段，刻度越密，剖面越陡。

单看线，分不出哪边是上。在$f = 2x\,e^{-(x^2 + y^2)/2}$上，绕$(1, 0)$和绕$(-1, 0)$的两组圈形状一样，一个却是山，一个是坑。地图上要写出高度，或者有别的线索，比如水。