Mapa de curvas de nivel

Una curva de nivel de una función $f(x, y)$ es el conjunto de puntos donde $f$ toma un mismo valor $c$. En la superficie $z = f(x, y)$, son los puntos a la altura $c$. Un mapa de curvas de nivel dibuja en el suelo las curvas correspondientes a alturas igualmente espaciadas, como un mapa topográfico representa las colinas.

La superficie se representa como vidrio sobre un mapa cuadrado, con la misma escala en los tres ejes, y su mapa de curvas de nivel queda en el suelo. Sube el agua hasta la altura $c$ y todos los puntos por debajo de $c$ quedan sumergidos. La orilla, dibujada en azul sobre la superficie y el mapa, es la curva de nivel $f = c$, así que un mapa de curvas de nivel es una pila de orillas. El agua representa un umbral, no una inundación: una depresión alejada de cualquier otra masa de agua ya es un lago en cuanto su fondo queda por debajo de $c$.

Al aumentar $c$, la orilla suele limitarse a desplazarse y cambiar de forma. Dentro del mapa, sus conexiones solo cambian a las alturas de los puntos críticos, donde $\nabla f = 0$, y en la punta del cono, donde el gradiente no existe. Justo por encima del fondo de una depresión aparece un lago. En un collado, o punto de silla, dos orillas se unen o una isla se divide en dos. En una cima, una isla se reduce a un punto y desaparece. La regla junto a la vista señala estas alturas.

El mapa es una ventana a un paisaje mayor, por lo que la página solo cuenta los lagos y las islas que quedan enteramente dentro. El agua que alcanza el borde es mar abierto, y la tierra que lo alcanza es tierra firme. Por tanto, los recuentos también pueden cambiar donde la orilla llega al borde. La regla señala esas alturas con una marca discontinua y sin símbolo.

Una curva de nivel que pasa por un punto de silla se cruza consigo misma allí. En la silla $f = \tfrac14(x^2 - y^2)$, la curva de nivel $f = 0$ es el par de rectas $y = \pm x$. Por debajo de 0, el agua ocupa dos valles; en 0, sus orillas se tocan en el punto de silla; por encima de 0, forma una sola masa. Las curvas de distintas alturas nunca se encuentran, porque un punto solo tiene una altura.

La diferencia de altura entre curvas vecinas es $\Delta c$, así que donde están próximas el terreno sube $\Delta c$ en poca distancia. Donde $\nabla f \ne 0$ y las curvas vecinas están próximas, la separación medida perpendicularmente a ellas es aproximadamente

La ventana Perfil dibuja la altura a lo largo de un recorrido de A a B con la misma escala en ambos ejes, una marca por cada curva de nivel que se cruza y el punto más empinado en amarillo. En un tramo donde el recorrido no deja de subir o de bajar, unas marcas más juntas indican un perfil más empinado.

Las líneas por sí solas no indican hacia dónde se sube. En $f = 2x\,e^{-(x^2 + y^2)/2}$, los anillos alrededor de $(1, 0)$ y $(-1, 0)$ tienen la misma forma, pero uno rodea una colina y el otro una depresión. Un mapa necesita las alturas escritas u otra pista, como el agua.