Criterio de las segundas derivadas parciales

En un punto crítico P de una función $f(x, y)$, ambas primeras derivadas parciales son cero y el plano tangente es horizontal. El criterio de las segundas derivadas parciales determina el tipo de punto a partir de las segundas derivadas $A = f_{xx}$, $B = f_{xy}$ y $C = f_{yy}$, mediante el discriminante $D = AC - B^2$, el determinante de la matriz hessiana. Si f tiene segundas derivadas parciales continuas cerca de P:

La página corta una superficie con un plano vertical que pasa por un punto crítico P en cualquier dirección θ. La superficie es una forma cuadrática cuyas segundas derivadas puedes ajustar, o una de varias funciones más. Cuánto se curva el corte en P se mide con la segunda derivada en esa dirección, $f_{uu}$. La rosa de direcciones alrededor de P está rellena donde los cortes se curvan hacia arriba y rayada donde lo hacen hacia abajo. El criterio habla de todos esos cortes a la vez.

Cuando θ da media vuelta, la segunda derivada describe una onda completa alrededor de su línea media $m = \tfrac12(A + C)$, con amplitud s, dibujada en el gráfico pequeño. Sus valores máximo y mínimo, $\lambda_1 = m + s$ y $\lambda_2 = m - s$, se dan en dos direcciones perpendiculares y son los valores propios de la Hessiana. Al multiplicarlos se obtiene $D = m^2 - s^2 = \lambda_1\lambda_2$. Por tanto, $D > 0$ significa que la onda nunca alcanza cero. Todos los cortes se curvan en el mismo sentido y P es un mínimo o un máximo. Cualquier corte permite entonces distinguir cuál, y $f_{xx}$ es simplemente la segunda derivada en x. $D < 0$ significa que la onda cruza cero: algunos cortes se curvan hacia arriba y otros hacia abajo, y P es un punto de silla.

Por eso no basta con $f_{xx} > 0$ y $f_{yy} > 0$. El término cruzado $f_{xy}$ aparta los picos de la onda de los ejes y aumenta su amplitud sin mover la línea media. Cuando $|f_{xy}|$ es suficientemente grande, un corte diagonal se curva hacia abajo aunque ambos cortes según los ejes se curven hacia arriba: el cuenco se ha convertido en silla.

Cuando $D < 0$, la segunda derivada es cero en exactamente dos direcciones, donde la onda cruza cero, y la rosa de direcciones las dibuja como rectas que atraviesan el disco. Son las tangentes a la curva de nivel que pasa por P y se cruza consigo misma allí. Esa es la X que un punto de silla forma en un mapa de curvas de nivel.

Cuando $D = 0$, la onda toca cero o coincide con él, de modo que en alguna dirección desaparece el término de segundo orden y el criterio no permite concluir. $x^2 - y^4$ y $x^2 + y^4$ tienen las mismas segundas derivadas en el origen, pero en y la primera baja como $-t^4$ y la segunda sube como $t^4$, así que una tiene un punto de silla y la otra un mínimo. En la silla de mono $x^3 - 3xy^2$, todas las segundas derivadas son cero en el origen, y la superficie sube en tres direcciones y baja en otras tres. «El criterio no permite concluir» no significa «no hay extremo».

En un punto crítico se anulan los términos de primer orden, así que cerca de P la función se aproxima a su polinomio de Taylor de segundo orden, que es f(P) más una forma cuadrática. La opción Aproximación cuadrática lo dibuja sobre el disco. Cuando $D > 0$, lo bastante cerca de P, el término cuadrático domina al resto en todas las direcciones; por eso P es un mínimo o un máximo, como en la aproximación. Cuando $D < 0$, sigue dominando en las direcciones en que la aproximación se curva hacia arriba o hacia abajo, de modo que f sube en unas y baja en otras: una silla.